曲线/曲面逼近问题在计算机图形学、计算机辅助设计等方面有着较广泛的应用,而大多数的逼近问题最终都可以归结为一组非线性方程的求根问题。本文研究了基于插值的曲线逼近方法及应用,主要内容包括如下三点:(1)研究了G~1约束下基于三次内点插值方法的等距曲线逼近方法。插值法无需给定曲线具有的相关控制多边形信息,可以适用于非多项式曲线的等距曲线逼近问题。当给定的等距曲线给出了插值三点三切向的三次Bézier曲线求解公式,可转化为一元三次方程的求解;同时讨论了插值曲线的存在性。它具有理论上最优的6次逼近阶,可望获取更好的逼近效果。多段插值Bézier曲线自动具有G~1连续性,也可进一步合并成C2连续的三次B样条曲线。该方法具有良好的局部性,在误差不满足的部分,可事先估算对应参数区间的划分段数,其余的逼近曲线段可以不用重新计算。数值实例也说明了该方法具有更好的逼近效果。(2)研究了基于插值的三角函数逼近新方法。三角函数逼近方法也有很多,如最小二乘、最佳平方逼近、FFT(快速Fourier变换)等。本文提出了一种逼近三角函数的新方法,可以应用于包括Wilker-CusaHuygens不等式在内的多种逼近问题。与Mortic的误差估算方法相比,本文的方法可以重构Mortic方法的结果,同时还提供了一种新的改进。数值实例结果表明,本文方法具有更好的逼近效果和更高的计算效率。(3)研究了结合插值和重新参数化技术的非线性方程裁剪求根方法。对于非多项式的方程,求解包围多项式过程的计算复杂度不亚于相应的求根计算。因此,现有基于包围盒技术的方法难以推广到非多项式方程的求根计算中。本文研究了结合插值和重新参数化技术的非线性方程裁剪求根方法,可以应用于非多项式方程的求根。首先求解出插值四点的三次多项式;然后寻找重新参数化函数,使得复合的插值多项式也插值对应的导数,从而提升对应的逼近阶和收敛阶。与已有的三次裁剪方法相比,该方法能达到9次或更高的收敛阶。在区间内单根且有理三次裁剪方法需要计算包围多项式的某些情形下,该方法可以直接包住对应的实根。实例表明,在某些Newton方法失效的情形下,该方法仍可以收敛到相应的实根。