【摘 要】
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本文将推广的(Clarkson和Kruskal)CK直接约化方法应用到了推广的柱KdV方程和五阶变系数Kawahara方程中,得到相应的转换方程,然后将李群理论运用于两个转换后的方程中进行分析
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本文将推广的(Clarkson和Kruskal)CK直接约化方法应用到了推广的柱KdV方程和五阶变系数Kawahara方程中,得到相应的转换方程,然后将李群理论运用于两个转换后的方程中进行分析求解;并在(3+1)维KP方程中应用G’/G展开法求出其精确解.首先,找出推广的柱KdV方程和五阶变系数Kawahara方程与对应常系数方程间的关系,并求出常系数方程的所有生成元,得到群不变解以及约化方程,再对约化方程进行求解.在(3+1)维KP方程中,应用G’/G展开法探讨了该方程的G’/G解是否存在,并求得了该方程的所有G’/G解.在第一章中,应用推广的CK直接约化方法把推广的柱KdV方程转化为常系数方程,确定了两方程解的关系,再应用李群理论研究了变换后的方程,得到该方程的生成元,再利用辅助方程对约化后的方程进行求解,从而得到了原方程的精确解.同时,利用求得的生成元得推广的柱KdV方程的伴随方程和显式守恒律.在第二章,应用推广的CK直接约化方法探究了推广的五阶变系数Kawahara方程和对应常系数方程之间的联系,再应用李群理论对五阶常系数Kawahara方程进行分析,得到五阶常系数方程的李点对称以及约化方程,对约化方程求解,进而给出方程的伴随方程和守恒律。在第三章,运用行波变换和齐次平衡原理以及G’/G展开法探究了Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程.然后,讨论了KP方程的G’/G解是否存在,并求得了KP方程所有的G’/G解.综上所述,推广的CK直接约化方法能够找到一些变系数方程与对应常系数方程之间的等价关系式,李群分析理论能够把高维的非线性偏微分方程最终降低为一维的、易于求解的常微分方程.
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