在过去的二十几年中，随着计算科学的迅速发展，图论得到了前所未有的巨大发展，而其中发展最快的也许就是关于图的控制数的研究。最早关于控制的综述文章发表于1977年，其中包括了二十篇参考文献。这类文献的数目发展到1990年，已经超过了400篇，而到1997年，更是达到了1000余篇的惊人数目，并且现在仍然保持着相当的速度不断发展。 本文着重研究了在树中全控制数与小控制数的关系。图G的全控制集是满足V中每个点都至少有一个邻点在其中的控制集，而G的全控制数γ_t（G）=nin{/D/|D是G的全控制集}；图G的小控制集是满足其控制数在所有G的控制集中达最小的控制集，而G的小控制数γ_L（G）=min{|X||X是G的小控制集}。E.Sampathkumar在[4]中讨论了小控制数与全控制数以及图的其他一些参数之间的关系。Odile Favaron在[2]中指出了[4]中的一个错误，并给出树中小控制数与全控制数的一个比值上界，但同时指出这个上界可能不是最好的。本文在此基础上，进一步探讨了树中全控制数与小控制数的比值上界，并证明这个上界是最好可能的。 首先这篇文章给出了在树中γ_L与γ_t相等的一些充分条件： 定理4.1：设D是树T的γ_t集合，若D中每点都是钩子，且T关于D的每个中介点都只与[D]的一个连通分支相关联，则γ_L=γ_t 。 定理4.2：设D是树T的γ_t集合，若D中每点都是钩子，且[D]的各连通分支D₁,D₂,……，D_μ满足：|V（D_i）|≤3（1≤i≤μ），则γ_L=γ_t。 推论4.2.1：设D是树T的γ_t集合，T≠P₁，P₂，且D中每点都是钩子，D₁，D₂，……，D_μ是[D]的各连通分支，把D₁，D₂……，D_μ分为两部分：部分一为 Ktwry 硕士学位论文 父贞而y MASTER’S TndIS 【仰山9的分支；部分二为【仰J三4的分支。若M＝厂－D《中不存在与部分 二中至少两个分支关联或与两部分中的分支同时关联的点，则t二rt。 同时这篇文章用另外一种更简单，更直观的方祛重新证明了沏中的一个 定理：对所有阶为。的树 T， 若了。H则 Yt／ fI7op／3。这个证明方法主 要应用了下面这个定理，这也是本文的一个主要结论： 定理 4．3：设 D是树丁的全控制集，［Dj有 p个连通分支：DI，D2，·‘·，”，Dp M是丁关于D的中介点集，则M可划分为s个中介点组：M，MZ·、…·，Ms且 s5＃－人 BM sp＋s－1。 另外作为这篇文章最重要的一部分，我们证明了 odile Fa。on的一个猜 想，也既是在树中小控制数与全控制数的比值上界问题： 定理 4．4 树 T的阶为 n U，则几 K了 y；（T）／J