向量值加细方程指的是形式为的函数方程，这里向量函数φ(x)=(φ1(x)，φ2(x)，…，φr(x))T是该方程对应的加细函数，{Hk}k∈Zs是该方程的加细系数，N(x)为方程的非齐次项。如果N(x)=0，方程为齐次向量值加细方程。向量值加细方程因其具有灵活的形式以及对应于具有较好性质的加细函数而备受人们关注，是近几年来小波分析、细分结构以及微分方程数值解等领域中的研究热点之一。　　 本篇论文分别在向量小波和向量值细分结构的背景下，研究了齐次和非齐次向量值加细方程的理论及其应用。具体地说，对于齐次向量值加细方程，主要研究了满足该方程的具有平衡性的向量小波。从向量小波满足的齐次向量值加细方程的加细系数出发，在无损系统格式结构的基础上，给出了具有平衡性向量小波对应的滤波器完整参数化结果，并在此基础上构造了一些正交的、对称的、具有较高光滑性的平衡性向量小波。并且基于平衡性向量小波变换，提出了一种新的多描述编码方法。实验证明，该方法对于静态图像和视频序列都有很好的效果，尤其在高压缩比的情况下，要优于传统相位分解的多描述编码方法。　　 对于非齐次向量值加细方程，主要研究了细分结构中基于四边形和三角形混合网格的细分结构——Quad/tiangle细分结构。这种基于混合网格的细分结构可以同时具有单一网格的优点，弥补其不足，是近年来计算机图形学中曲面设计研究的热点。通过研究可以发现，这种基于混合网格的细分结构对应的加细方程就是非齐次向量值加细方程，所以本篇论文另一重要工作就是在非齐次向量值加细方程的基础上，深入地研究了基于混合网格的细分结构，指出了极限曲面可以表示为加细函数和它整数点平移的线性组合，并且刻画了多项式再生能力、以及极限曲面的光滑性。在这些理论基础上，构造了具有C2光滑性的Quad/tiangle细分结构，并给出了相应的实际效果。