随着信息时代的快速发展，传统的信号采集方法与日益增长的数据获取需求之间，存在着越来越多的矛盾。特别是在高频率、高精度以及高速信号大量涌现的情况下，依据传统的信号采集方法已经难以满足现实需求。压缩感知的基本理论就是在这种背景下诞生和发展起来的，该理论的优势在于信号采样的同时就能实现信号压缩，这样大大降低了采样数量，然后根据高度不完整的测量信息，转化成凸优化或最小化问题，最后通过一定的重建算法求出凸优化(最小化)问题的解，从而实现信号的高精度重构。本文深入研究并详细分析了压缩感知的基本理论和数学框架，对压缩感知中测量矩阵和重建算法这两个重要方面，以及基于压缩感知的图像去噪应用方面进行了一些相关研究，本文主要的工作与创新包括：(1)针对现有的随机或确定性测量矩阵在测量时存在的不足，提出了一种测量矩阵的优化方法，该方法在现有随机测量矩阵基础上，通过叠加确定性类圆环矩阵，对测量过程进行优化，并将该优化方法拓展到其他随机测量矩阵的构造中，通过一维稀疏信号和二维图像信号的仿真实验分析，该方法在减小测量数的同时能够提高信号重建的质量。(2)研究并分析了几种压缩感知经典重构算法，提出了一种改进的FR-CoSaMP重建算法，详细分析了该算法的数学模型和算法流程，该算法主要是在CoSaMP算法的基础上，改进其测量矩阵和迭代计算方法实现的，利用该算法能够提高图像信号的重建质量。(3)针对压缩感知在图像去噪方面的应用，通过介绍几类常见的噪声模型，并深入比较了现今流行的几种基于压缩感知去噪方法的性能，为压缩感知在该方向的研究提供客观的数据分析。在文章的尾声，全面总结本文的主要研究内容，并提出了对压缩感知这个新兴理论的后期相关研究问题。