设CcEn为一个凸体,对于任意的两点a,b∈En,用ab来表示连接a和b的线段,用|ab|表示线段ab的长度。N用a1b1表示C中平行于ab的最长弦,刚a1b1为凸体C中平行于ab的仿射直径,称|ab|和1/2|a1b1|的比值为a和b之间的相对距离,亦称为a和b的C-距离,记之为dc(a,b)。Lángi猜想不存在边界含九个点且其相对距离大于4sinπ18的平面凸体,也不存在边界含十个点(或十一个点)且其相对距离大于2/3的平面凸体。　　已知在平面中,到两定点的距离之和为定值的点的轨迹为椭圆。首先,本文用“相对距离”代替“欧氏距离”,在相对测度空间中重新定义了椭圆,证明了如下定理。　　定理1设T=abc为一个三角形,f1,f2为T所在平面内的两定点且f1f2∥ab。则对于任意的γf＞|f1f2|,满足dγ(p,f1)+dγ(p,f2)=γ的点p的轨迹为中心对称的十边形(当γ≠2dγ(f1,f2)时)或为中心对称的八边N(Nr=2dγ(f1,f2)时)。　　其次,本文构造了一个任意两个相邻顶点的相对距离都等于(3)-1的凸九边形,改进了φ9(C)的界;也构造出了一个任意两个相邻顶点的相对距离都大于2/3的凸十边形,否定了φ10(C)的猜想;另外通过严密的逻辑推理,证明了φ11(C)的猜想。即证明了如下定理。　　定理2存在一个凸九边形Ⅳ,它的任意两个相邻顶点的相对距离都等于(3)-1,即φ9(C)≥(3)-1。　　定理3存在一个凸十边形Do,它的任意两个相邻顶点的相对距离都大于2/3,即φ10(C)＞2/3。　　定理4每个凸十一边形都含有两个相邻顶点,其相对距离不超过2/3,即φ11(C)=2/3。