近年来随着航空、造船、机械设计和制造等现代工业的蓬勃发展，计算机辅助几何设计，简称CAGD(Computer Aided Geometric Design)，逐步成为的一门新兴的交叉学科。作为CAGD系统基本几何元素，自由曲线、曲面的表示、设计、显示、分析以及规格、处理(包括数据结构、数据库、图形的信息形式和调整方式等)问题，是计算机辅助几何设计的主要研究对象和内容。而用插值与逼近方法解决曲线、曲面造型问题是计算机辅助几何设计最基础的研究课题。另外，随着数字图像处理技术的迅速发展，数值逼近在数字图像处理中也有了广泛的应用。作为典型非线性逼近之一的有理函数插值与逼近方法，在数值逼近、函数近似表示、计算机辅助设计及数字图像处理中，越来越引起人们的关注。本文围绕着有理插值样条及其在数字图像处理中的应用，给出下列研究成果：1．1／1型有理插值样条对于严格单调数据，本文构造了1／1型分段插值样条，即分子、分母均为一次多项式的插值函数，该有理插值样条既克服了一次多项式的不光滑性，同时又不会出现高次多项式通常产生的震荡。该函数形式简单，仅需给定函数值便可惟一确定，且便于推广到二元情形。文中给出了一元和二元插值格式并研究了它们的保形性，同时给出了插值函数的误差估计。2．3／3有理插值样条构造了含有四族参数的分片三次有理样条函数(分子、分母均为三次多项式)。其中两族参数称为形状参数，另外两族参数称为保形参数。通过调整形状参数可交互式修改曲线形状，通过适当选取保形参数可使曲线保单调，另外，该方法计算简单、灵活。数值例子显示由该样条函数生成的曲线十分光滑且保持了数据固有的形态。3．4／1有理插值样条构造了4／1型分段有理插值曲线即分子、分母分别为四次、一次多项式的插值函数，并讨论了该函数的一阶、二阶连续性和保单调的条件。该函数含有二族参数α_i、β_i可自由调节以改变曲线的形状，并可通过给导数d_i赋值，而无需求解一协调方程组才能使得插值函数二阶连续。此四次样条函数分母不含导数条件，便于推广到多元情形，本文将此结果通过张量积的形式推广到插值曲面，并通过定义二元函数的单调性，给出了该函数单调的充分条件。4．三次混合有理插值构造了3／1型插值有理样条即分子、分母分别为三次、一次多项式的插值函数，并讨论了它的连续性、单调性、保凸性及收敛性。该样条函数不仅可通过导数参数的选取，使得插值函数保单调，还可使得插值函数保凸。然后，利用此函数与标准的三次Hermite插值函数进行类似于张量积的处理，构造了各种二元混合有理插值格式。5．图像融合将本文构造的3／3型有理样条用于图像融合。由于加权平均法对噪声很敏感，容易在模糊区域和清晰区域交界的地方容易出现明显的块状效应或者灰度畸变，本文通过块定义像素清晰度，对对应像素的灰度值进行加权组合来形成融合图像。如何选择权函数是图像融合中的关键问题，由于本文构造的三次有理样条具有保形有性，用它构造的函数完全满足权函数的要求，将构造的权函数对图像进行融合，实验结果表明所得到的融合图像具有较好的融合效果。6．图像缩放将本文构造的双4／1型有理样条用于图像缩放。我们常用的图像处理软件普遍采用插值方法进行放大和缩小，各种各样的插值技术是实现图像放大的最常用的方法，然而，这些方法都是基于简单的多项式模型，会造成边缘层次模糊和虚假的人工痕迹(锯齿状条纹和方块效应等)，原因是图像受光照、自然背景的影响，以及图像自身纹理的特点，其相邻像素之间一般不是成线性关系，因此用非线性函数中的有理函数建立数学模型可能会得到更理想的效果。因此本文用双四次有理样条曲面，将由原始图像给出的离散数据，用二元连续函数表示，然后按缩放要求进行重采样得到目标图像，由于此样条函数是分段定义的且具有保形的特点，因此计算简单，稳定性好。本文的主要工作和创新点如下：1．构造了4／1型有理插值样条即分子、分母分别为四次、一次多项式的插值函数，并讨论了该函数的一阶、二阶连续性和保单调的条件。该函数含有二族参数α_i、β_i可自由调节以改变曲线的形状。有理样条曲线一般只有C~1光滑，欲达到C~2光滑，需要解一个关于d_i的非线性协调方程组，这为设计C~2光滑曲线带来了困难。本文构造的4／1型有理插值样条的优点是可通过对导数值d_i赋值，无需求解上述协调方程组使得插值函数二阶连续，且函数仍是保单调的。2．通过张量积的方式将上述4／1型有理样条曲线推广到二元插值曲面，给出了二元函数的插值格式，另外，通过定义二元函数的单调性，给出了插值曲面保单调的充分条件。3．现有的三次保形有理样条一般只保单调，只有Gregory，Delbourgo构造的2／1型有理样条具有保凸性，但是，它不含形状参数，不便于交互式修改曲线形状，另外它分母含有导数参数，无法构造二元插值格式。本文构造了3／1型插值有理样条即分子、分母分别为三次、一次多项式的插值函数，该样条函数不仅可通过导数参数的选取，使得插值函数保单调，还可使得插值函数保凸。然后，利用此函数与标准的三次Hermite插值函数进行类似于张量积的处理，构造了各种二元混合有理插值格式。4．由于3／3型有理样条具有保形性，本文将3／3型保形有理样条用于图像融合中的权函数的逼近，并给出了具体的函数表达式。同时将本文的融合方法与用离散小波变换基于窗口的融合规则下得到的融合图像进行了性能比较。实验表明本文得到的融合图像和参考图像的均方根误差RMSE明显优于用离散小波变换得到的融合图像的RMSE，获得了较好的融合效果。5．将本文构造的双4／1型有理插值样条用于图像缩放。以原图像的像素点为插值节点，用双4／1型有理插值样条建立连续数学模型，然后按缩放要求重新采样得到目标图像。为了比较说明本文提出的双4／1型有理插值应用于图像插值处理的效果，我们分别使用双三次多项式插值方法和本文方法对四幅不同的灰度或彩色图像进行插值处理。首先将图像通过双线性插值算法缩小一定的倍数(本文取2倍)，然后再用不同的插值算法放大到原来的大小。将原图像看作无失真的图像，插值图像看作是失真的图像，则可得到图像峰值信噪比(PSNR)。两种算法的执行时间分别为85ms和100ms。本文方法与双三次卷积的插值图像相比，PSNR平均提高了约1.7dB。因此，本文方法可以使图像在缩放处理之后具有较小的失真。另外，该算法具有局部性，计算仅与相邻的几个像素有关，且具有较好的稳定性。