【摘 要】
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变分法是处理泛函的数学领域,与处理函数的普通微积分相对,通常是寻求极值函数:它们使得泛函取得极大或极小值.在基础数学的其它分支、计算数学、概率论、最优控制以及量子物理、材料科学等科学领域中有重要的应用.在这篇综述型硕士论文中,我们主要研究变分法在几何分析以及概率论中的应用.特别地,我们将应用变分法中的直接方法来研究著名的Plateau问题,应用Kantorovich对偶性来求解最优运输问题.著名的
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变分法是处理泛函的数学领域,与处理函数的普通微积分相对,通常是寻求极值函数:它们使得泛函取得极大或极小值.在基础数学的其它分支、计算数学、概率论、最优控制以及量子物理、材料科学等科学领域中有重要的应用.在这篇综述型硕士论文中,我们主要研究变分法在几何分析以及概率论中的应用.特别地,我们将应用变分法中的直接方法来研究著名的Plateau问题,应用Kantorovich对偶性来求解最优运输问题.著名的Plateau问题可以简要的叙述为:给定欧氏空间Rn中的一条简单闭曲线Г,是否存在以Г为边界的极小曲面.这个问题最早是在1760年由Lagrange提出.随后,比利时物理学家Plateau在19世纪总结出与极小曲面相关的Plateau定律.1930年左右,Douglas和Rado独立地证明了以Jordan曲线为边界的极小曲面存在性.Douglas因此项工作而获得1936年的首届Fields奖.1948年,Morrey将Douglas和Rado的结果进一步推广到齐性黎曼流形.在最近的一项工作中,Lytchak-Wenger在恰当度量空间的框架下求解了 Plateau问题,并将结果成功应用到几何群论、度量几何以及非光滑分析等领域中.最优运输问题则是研究将给定的货物从一个地点运输到另外一个地点的时候,如何极小化运输成本的问题.这个问题最早是由法国数学家Monge在1781年提出.随后前苏联数学家与经济学家Kantorovich解决了 Monge最优运输问题.因为这项理论在经济学中的重要价值,Kantorovich获得了 1975年的诺贝尔经济学奖.著名数学家Figalli因为在最优运输相关数学理论的研究中而获得2018年的Fields奖.除基础数学和经济学外,最优运输理论也被广泛应用到多个工程领域.在这篇硕士论文中,我们将给出Douglas-Rado在欧氏空间、Lytchak-Wenger在恰当度量空间求解Plateau问题,以及Kantorovich最优运输问题的详细证明.因此,论文自然而然的分成三个部分.在第一部分中,我们在欧氏空间求解Plateau问题.由于面积泛函的内蕴不变性所带来的的紧性缺失,我们无法直接应用变分法中的直接方法进行求解.遵从Douglas的原始想法,我们转为考察Dirichlet能量的极小元,应用调和函数紧性理论来克服紧性缺失这一障碍,从而解决Plateau问题.在第二部分中,我们将Plateau问题推广至度量空间.此时同样面临着紧性问题,我们应用Hajlasz-Sobolev映射理论来解决,从而求解Plateau问题,同时我们证明了 Plateau问题解的正则性结果.在第三部分中,我们首先研究了 Kantorovich最优运输问题,并运用变分法的直接方法,证明了问题中最优解的存在性.其次讨论Kantorovich对偶问题与原问题的等价性,最终我们由对偶性理论证明下半连续代价函数上最优解的充分必要条件.
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