自相似集是分形几何中最重要的研究对象.自相似集相互之间的Lipschitz嵌入问题和Lipschitz等价问题开始于上世纪80年代K.Falconer, G. David, S. Semmes, P. Mattila等人的开创性工作.最近,Lipschitz嵌入问题已经被P. Mattila以及奚李峰等人的工作完全解决.而Lipschitz等价问题则复杂得多,最近在饶辉,奚李峰,阮火军等人工作的推动下,也取得了很多进展.自相似集之间的仿射嵌入问题,则是一个比较新的课题.P.Mattila在1998年提出的一个公开问题：能不能找出所有三分Cantor集的所有自相似子集?2015年,丰德军,饶辉,汪扬在[14]中利用调和分析和数论中的一些工具,完整的回答了这个问题,是这个方面的第一个实质性进展.2014年,在[15]中,丰德军,黄文,饶辉对仿射嵌入问题作了更为仔细的研究：他们证明了如果自相似集F可以光滑嵌入到自相似集E中,则E也可以仿射嵌入到F中；他们讨论了E和F的压缩比之间的关系,以及这些研究在动力系统中的应用,例如,关于p-不变集和q-不变集的交的维数的Furstenberg猜测.这些研究中比较多的用到了调和分析和数论工具.在本学位论文中,我们所做的第一个工作是研究可嵌入自相似集的压缩比的对数可比性.文[15]猜测,若F可以仿射嵌入到E中,则他们的压缩比满足一个对数可比条件.对于几类更为广泛的R上的自相似集,我们证明这个猜测是成立的.我们的第二个工作,是更加深入的研究了自相似子集的结构定理.在文[14]中,对于Cantor三分集作为母集的情况,作者给出了自相似子集的一个结构定理,并由此刻画了所有的自相似子集.我们把这个工作推广到了多分支的均匀Canto集.为此,我们改进了文[14]中“内在展式”和“例外集”的定义,对它们作了几何上的描述,并简化了证明.我们的工作,使结构定理也变得更加清晰和自然.本论文中我们的第三个工作是从自相似子集的角度讨论一族Cantor集的刚性.设Cα.L是有L个分支的压缩比为α的均匀Cantor集.则通过符号空间,有一个从Cα,L到Cβ,L的自然映射.我们证明了下面稍微让人惊讶的一个新结果：当两个均匀Cantor集的Hausdorff维数都小于1/2时,这个自然映射保持了Cα,L和Cβ,L的自相似集子集的结构.事实上,如果给定E（?）Cα,L的IFS,则F＝fα,β（E）的IFS能明确的构造出来.而且,如果α更大,则集合Cα,L有更多的自相似子集.