论文部分内容阅读
测度熵从整体上给出了动力系统复杂程度的一种度量,而Lyapunov指数则在局部从几何角度给出动力系统对初值依赖的敏感程度的描述,这些量通过著名的Ruelle不等式,Pensin熵公式联系起来。进一步,Pesin熵公式(或者Ledrappier-Young’s熵公式)通过Lyapunov指数和熵来刻画Sinai-Ruelle-Bowen(SRB)测度：具体地,对于紧无边黎曼流形上具有不变概率测度μ的C2(或者C1+α)微分同胚f,由Oseledec定理[27],μ-a.e.x∈M存在重数为m1(x),…,mr(x)(x)的Lyapunov指数λ1(x)>…>λr(x)(x)。记hμ(f)为f相对于μ的测度熵,一般而言,此二者有如下Ruelle不等式成立：它只提供了系统测度熵的部分信息。此结果最初由Ruelle[32]对C1微分同胚给出,Pesin[28]进一步指出,当上述同胚为C1+α且测度μ光滑(即μ关于流形M上的Lebesgue测度绝对连续)时,上述Ruelle不等式就变为等式：这个等式就是著名的Pensin熵公式。随后,Ledrappier,Strelcyn和Young[13,14,16]证明了熵公式成立当且仅当μ为SRB测度(即μ在不稳定流形上具有绝对连续的条件测度)。本文将对无穷维随机动力系统建立相应的Ruelle不等式与Pesin熵公式。首先在第一章中介绍相关记号、背景、以及主要结果。接着在第二章中给出Banach空间上的Ruelle不等式,最后在第三章中给出Hilbert空间上Pesin熵公式的证明。