【摘 要】
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许多物理问题的控制方程都是微分方程,例如,人口问题、混合问题和落体问题均是以微分形式观察到的基本物理现象.对这些重要的物理问题引起的微分方程进行系统性研究时,任何显式解的发现对于研究其动力学行为都起着关键性作用.对非线性微分方程进行对称分析、精确解和守恒律的研究能够辅助对复杂物理现象的科学解释和工程应用.本文以李对称分析为主要的求解思想,结合符号计算软件Maple,研究以下三类非线性偏微分方程模型
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许多物理问题的控制方程都是微分方程,例如,人口问题、混合问题和落体问题均是以微分形式观察到的基本物理现象.对这些重要的物理问题引起的微分方程进行系统性研究时,任何显式解的发现对于研究其动力学行为都起着关键性作用.对非线性微分方程进行对称分析、精确解和守恒律的研究能够辅助对复杂物理现象的科学解释和工程应用.本文以李对称分析为主要的求解思想,结合符号计算软件Maple,研究以下三类非线性偏微分方程模型的精确解及守恒律.（1）研究了对流Cahn-Hilliard方程的精确解和守恒律.通过构造B?cklund变换以及利用李对称分析,在一定的规范条件限制下,得到了方程的几组不同形式的精确解,并结合方程的对称性构造了守恒律.（2）研究了含时变系数的分数阶Gardner方程的精确解和守恒律.分析了方程的李对称群,根据方程的参数分为了六种情形,实现了不同情形的对称约化,相应地得到了幂级数解,并构造出方程的守恒律.（3）研究了时空分数阶Boussinesq系统的精确解和守恒律.基于分数阶偏微分方程的李对称分析,得到方程的无穷小生成元和群不变解,结合幂级数展开法,得到系统的幂级数形式精确解,并对解的收敛性进行了分析,且利用对称性和非线性自伴随条件构造出方程的守恒律.
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