【摘 要】
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有限域上置换多项式在许多领域都有着广泛的应用,如RSA加密系统、分组密码、编码理论等,因此相关研究对理论和实际应用都有着重要意义。本文主要研究了两类特殊的置换多项式,分别为三轮置换多项式以及完全置换多项式。设多项式f（x）是有限域Fq上的一个置换多项式,其中q表示有限域中的元素个数。本文主要研究了f（x）经过两次复合运算后等于单位映射的一般构造条件,即f（?）f（?）f=I,其中I为单位映射,同时
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有限域上置换多项式在许多领域都有着广泛的应用,如RSA加密系统、分组密码、编码理论等,因此相关研究对理论和实际应用都有着重要意义。本文主要研究了两类特殊的置换多项式,分别为三轮置换多项式以及完全置换多项式。设多项式f（x）是有限域Fq上的一个置换多项式,其中q表示有限域中的元素个数。本文主要研究了f（x）经过两次复合运算后等于单位映射的一般构造条件,即f（?）f（?）f=I,其中I为单位映射,同时这样的f（x）称为三轮置换多项式。本文给出了在有限域Fq上,当sd=q-1时,形如f（x）=xrh（xs）的三轮置换多项式的一般构造条件。通过构造特殊的h（x）以及根据g（x）=xrh（x）s在其子集μd上为已知的三轮置换多项式,本文刻画出f（x）在Fq上满足三轮置换的特殊条件。此外,本文还给出了在Fq上形如f（x）=xh（xs）和f（x）=g（xqi-x+δ）+bx的两类完全置换多项式,同时归纳出既满足三轮置换又满足完全置换的例子。主要内容如下:本文对形如f（x）=xrh（xs）的多项式进行两次复合运算使其等于一个单位映射,即f（?）f（?）f=I,结合置换的性质刻画出f（x）为三轮置换的一般条件。当sd=q-1,在有限域Fq的子集μd上,本文通过讨论μd中的元素情况来刻画三轮置换多项式的构造条件,分别从d=2、d=3以及d为一般情况给出了f（x）满足三轮置换的充要条件。基于f（x）=xrh（xs）的形式,本文从h（x）的角度出发,构造合适的h（x）使得f（x）在有限域Fq上为三轮置换多项式。同时由已知的g（x）=xrh（x）s在其子集μd上为三轮置换多项式,刻画出f（x）在有限域Fq上为三轮置换多项式的特殊条件。最后,本文给出了形如f（x）=xh（xs）和f（x）=g（xqi-x+δ）+bx的两类完全置换多项式,归纳了同时满足三轮置换和完全置换的例子。
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