【摘 要】
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参数曲线和曲面是计算机辅助设计应用的重要出发点,通常情况下,渲染、求交以及裁剪曲线和曲面等相关应用的算法是基于它们的参数化而不是固有的几何形状。曲面可以有许多不同的参数化形式,根据实际的应用选择合适的参数化对曲面进行重新参数化往往能得到较为理想的结果。应用结果会受到曲面参数化质量的影响,比如在曲面离散、曲面求交、曲面纹理映射、曲面渲染、曲面配准等应用中,曲面参数的一些诸如正交性等性质能够带来更加稳
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参数曲线和曲面是计算机辅助设计应用的重要出发点,通常情况下,渲染、求交以及裁剪曲线和曲面等相关应用的算法是基于它们的参数化而不是固有的几何形状。曲面可以有许多不同的参数化形式,根据实际的应用选择合适的参数化对曲面进行重新参数化往往能得到较为理想的结果。应用结果会受到曲面参数化质量的影响,比如在曲面离散、曲面求交、曲面纹理映射、曲面渲染、曲面配准等应用中,曲面参数的一些诸如正交性等性质能够带来更加稳定和高效的算法。本文主要讨论的问题在于如何构造具有正交等参线的双三次Bézier曲面,通过曲面的微分几何推导出符合要求的双三次Bézier曲面的充要条件,并根据控制顶点满足的约束条件构造出具备正交特性的双三次Bézier曲面。由于构造具有正交等参线的双三次Bézier曲面在带来了更高自由度的同时也带来了更多的约束方程,这使得计算更为困难。为了将复杂的表达式简化,便于计算,文章没有直接将控制顶点作为未知量直接求解,而是使用控制顶点的线性组合来表示约束方程的未知解,这样可以减少所需要求解的未知量个数。在得到满足条件的约束方程后,首先通过观察一些约束组合,可以将不在边界上的控制顶点用边界控制顶点的线性表达式表示,最大限度地简化方程组所需要求解的未知向量。然后给定四个角点,根据约束使用Levenberg Marquardt算法近似求解出来未知量。最后就能根据所有控制顶点的信息构造出具有正交特性的双三次Bézier曲面。通过实验采样点的数值验证,可以保证最后使用所有控制顶点的信息构造出的双三次Bézier曲面的参数曲线网无限接近正交。综上所述,本文的创新点在于:一、对双三次Bézier曲面提出了一种新的参数化——等参线正交的参数化;二、根据曲面的微分几何推导出了双三次Bézier曲面具有正交等参线的充要条件;三、设计了具有正交等参线双三次Bézier曲面的构造算法。具有正交特性的Bézier曲面能够简化基于导矢的离散算法,使得曲面偏导矢相关算法更加鲁棒,而且也能够提升曲面纹理映射和离散的效果,此外曲面具备正交的参数曲线网也是曲面保角映射的必要条件。
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