谱方法源于经典的Ritz-Galerkin方法,它是求解偏微分方程重要而有效的数值方法。谱方法的最大优点是所谓的“无穷阶收敛性”,以及可以实施快速Fourier计算。这些优点使得谱方法日益受到很多学者的关注。因此,开展谱方法的研究工作具有十分重要的理论意义。本文首先介绍了谱方法的基础理论和基本思想,然后在分析总结二类基本问题的谱方法基础上,提出了利用特殊的正交Legendre多项式作为试探函数来构造的谱方法格式。本文利用了Legendre-Galerkin谱方法求解具有齐次边界条件的Helmholtz方程。这种格式结构简单,便于计算。最后进行了误差分析并给出了相应的数值试验,试验结果表明以特殊的Legendre多项式做为基函数的Legendre-Galerkin方法保持了数值稳定和较好的精度,是一种有实际意义的格式。