保持问题的目的在于刻画两个代数结构之间使得某些代数性质在其作用之下得以保持的映射。保持问题的研究开始于Frobenius在1897年发表的一篇文章，Frobenius在该文中刻画了复方阵空间上保持行列式的线性映射。时至今日，保持问题的研究已经取得丰硕的成果。不但有矩阵代数上的保持问题，还有算子代数上的保持问题。保持问题所涉及到的不变量可以分为函数、子集、关系和变换四种。保持映射有加法映射、乘法映射、线性映射，等等。2003年，Sˇemrl首次研究了A λB型的保持映射，并且刻画了复方阵空间上双向保持平方幂等的A λB型映射（该映射同时还是连续的双射）。此后，很多学者对类似的保持问题进行了研究，改进了前人的结果，丰富了保持问题的研究。游宏等学者在2007年刻画了复方阵空间上双向保持k幂等的A λB型映射，在2008年进一步刻画了复上三角矩阵空间上双向保持k幂等的A λB型映射。双向保持映射一定是单向保持映射，反之则未必。曹重光等在2008年改进了游宏等的结果，刻画了复方阵空间上单向保持k幂等的A λB型映射。本文刻画了复对称矩阵空间上单向保持k幂等的A λB型映射，从而可以比较容易地得到双向保持k幂等的A λB型映射的形式。这个结论不但推广了前人的成果，并且在研究的过程中所使用的方法同样适用于复方阵空间上单向保持k幂等的A λB型映射。研究新的不变量是保持问题发展的一个动力所在。2010年，Pazzis给出了，域上矩阵可以表示成两个平方幂等阵的线性组合的等价条件，并且在此基础上证明了，任意域上的矩阵都可以表示成三个平方幂等的线性组合。2012年，Botha给出了，任意域上的矩阵可以分解成两个平方幂零阵之和的充分必要条件。从保持问题的角度考虑，研究保持这些矩阵分解的映射是有吸引力的问题。而在研究这些关于矩阵分解的保持问题之前，对矩阵的这两种分解进行深入研究是必要的。尽管Pazzis和Botha分别给出了矩阵进行这两种分解所满足的充要条件，但是他们并没有指出这两种分解之间的关系。本文证明了，域上的矩阵关于两个平方幂零阵之和的分解是关于两个平方幂等阵的线性组合的分解的一种特殊情况，进一步给出了，整数环上可以分解成两个平方幂零阵之和的2×2矩阵所满足的充分必要条件，同时对一些具体的例子进行了讨论。