【摘 要】
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近年来,奇摄动系统广泛地应用于建立流体力学、化学反应、生物学等自然科学和工程技术中的相关模型.然而,这些模型经常是在定义域内某条曲线处间断,即不连续奇摄动系统,或者是具有多个小参数,即多尺度快慢系统.因此,越来越多的科研工作者关注于不连续奇摄动系统和多尺度快慢系统的研究中,并极大地丰富和发展了奇摄动理论的相关内容.本文主要运用边界层函数法和空间对照结构理论研究了两类具有Dirichlet边值条件和
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近年来,奇摄动系统广泛地应用于建立流体力学、化学反应、生物学等自然科学和工程技术中的相关模型.然而,这些模型经常是在定义域内某条曲线处间断,即不连续奇摄动系统,或者是具有多个小参数,即多尺度快慢系统.因此,越来越多的科研工作者关注于不连续奇摄动系统和多尺度快慢系统的研究中,并极大地丰富和发展了奇摄动理论的相关内容.本文主要运用边界层函数法和空间对照结构理论研究了两类具有Dirichlet边值条件和周期条件的不连续奇摄动抛物方程空间对照结构型解的存在性和稳定性,以及运用几何奇摄动理论研究了两类Leslie-Gower快-慢系统的多尺度动力学.全文共分六个章节,主要内容如下:第一章首先简要介绍了奇异摄动理论的发展过程和其在不连续奇摄动问题与多尺度生物模型中的应用,然后罗列了部分基本定理和概念,最后详细介绍了本文所研究的主要内容.第二章主要研究了一类具有不连续右端函数的奇摄动反应扩散方程边值问题空间对照结构型解的存在性和稳定性.运用边界层函数法和空间对照结构理论构造了边值问题具有内部层和边界层的解的形式渐近展开式,并运用上下解方法和微分不等式方法证明了解的存在性和稳定性,同时估计了形式渐近展开式的精度.最后给出了一个例子来验证本章的相关结论.第三章主要研究了一类具有不连续反应项和对流项的奇摄动反应扩散对流方程边值问题空间对照结构型解的存在性和稳定性.运用边界层函数法、空间对照结构理论和上下解方法证明了具有内部层的解的存在性和稳定性,并给出了解的高精度渐近展开式.最后给出了一个例子来验证本章的相关结论.第四章主要研究了具有弱扩散的Leslie-Gower反应扩散模型行波解和周期解的存在性.假设捕食者和被捕食者的扩散速率都充分小,且被捕食者的自然增长率远大于捕食者,则无量纲化的Leslie-Gower反应扩散模型是一个具有两个小参数的奇摄动问题.运用行波变换,可以将所研究的问题转化为具有两个小参数的四维快-慢系统.运用几何奇摄动理论,可得该快-慢系统异宿轨、鸭爆炸现象和松弛振荡环的存在性,从而证明反应扩散模型行波解和周期解的存在性.同时,本章也给出了相关结论对应的数值例子.第五章主要研究了具有Monod-Haldane函数的Leslie-Gower快-慢系统的多尺度动力学.我们运用几何奇摄动理论研究该系统的多尺度动力学,并得到一些新的动力学现象,例如:奇异Hopf分支、鸭爆炸现象、松弛振荡环、同宿轨和异宿轨、以及鸭环和松弛振荡环共存现象等等.同时,本章也数值仿真了这些动力学现象.第六章是全文研究内容的简要总结和今后的研究展望.
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