一维定态问题是量子力学中最常见、同时也是最简单的基本问题之一,而“量子图”这一概念通常是指这类一维问题的一种直接推广。从数学的角度看,量子图研究的是定义在网络或者图上的线性微分方程问题。而从物理学和化学的角度,量子图则可以作为很多实际系统的理想化模型,如一些具有复杂网络结构的大分子中的电子态、固体中的安德森局域化、声波和电磁波在网络中的传播问题等。这类微分算子通常具有极其复杂的能谱,某些能谱表现出值得关注的混沌特征。本文的主要目的是研究量子图的能谱随边长的变化,我们将以几种典型的量子图为例,用数值方法计算它们的能谱,并用控制变量的方法分析能量本征值随特定边长度的变化。本文首先简要介绍了与量子图研究有关的一些基本概念和理论,如定义在量子图上的薛定谔方程,波函数在顶点所满足的边界条件。然后由边界条件给出了确定能量本征值的线性方程组,并证明了这个线性方程组的系数行列式总是实数或者纯虚数,这使得我们可以用判断行列式是否为零的方法数值地求出一个给定量子图在有限的能量范围内的所有能量本征值。最后我们归纳总结了数值计算具体的量子图能谱的方法,并以几种典型的量子图,如“8”字形、哑铃形和“日”字形的量子图为例,给出了具体的能谱随边长变化的分析,得到对任意一种量子图,当边的数目和连接方式(即图的拓扑特征)保持不变时,量子图的每个特定能量本征值一般会随任意一条边长度的增大而减小。同时还发现,对于有闭合环或几条边能组能闭合环的量子图,当该闭合环的周长是某些波长的整数倍时,该波长对应的能级不随边长的变化而变化,并解释了出现这种不受边长变化影响的能级的物理本质。