【摘 要】
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设C是有限域Fq上的[n,k,d]线性码.如果码C的参数满足:d=n-k+1,则称其为极大距离可分码,简称MDS码.MDS码在实践中有重要意义.例如:MDS码可以被很好地应用于分布式存储系统和随机错误信道中.MDS码的具体构造在编码学中是一个基本的问题.最常见的MDS码是广义Reed-Solomon（GRS）码和扩充的GRS码,GRS码由其定义集和赋值多项式决定.2017年,Beelen等第一次构
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设C是有限域Fq上的[n,k,d]线性码.如果码C的参数满足:d=n-k+1,则称其为极大距离可分码,简称MDS码.MDS码在实践中有重要意义.例如:MDS码可以被很好地应用于分布式存储系统和随机错误信道中.MDS码的具体构造在编码学中是一个基本的问题.最常见的MDS码是广义Reed-Solomon（GRS）码和扩充的GRS码,GRS码由其定义集和赋值多项式决定.2017年,Beelen等第一次构造了扭结的（twisted）Reed-Solomon（TRS）码.一般情况下TRS码不一定是MDS的,Beelen等通过取特殊的参数构造了三种MDS TRS码,选取的定义集分别是集合G∪{0}的子集和集合V∪{∞}的子集,其中G是Fq*的真子群,V是Fq的真子群.Beelen等构造的码的码长可达到对应的极大子群的阶加1.Beelen等在另一篇论文中通过增加单项式的方法推广了 TRS码的结构并相应的给出了一种MDS TRS码的构造,并且利用Schur积的工具证明了大部分MDS TRS码是不等价于GRS码的.本文主要研究MDS TRS码和LCD MDS码的构造.在第三章,我们将定义集分别推广成如下集合的子集:加群（Fq,+）的真子群并上任意一个非单位元陪集中的若干个元素和乘群Fq*的真子群并上任意一个非单位元陪集中的若干个元素,如此构造的MDS码的码长比Beelen等构造的MDS TRS码的码长更长.进一步,我们研究了构造出的MDS码与GRS码的等价性问题.在第四章,我们利用构造出来的MDS TRS码构造LCD MDS码,我们主要通过分析TRS码的生成矩阵来构造LCD MDS码.
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