利用判别函数法,本文对几类Abelian积分的零点个数给出了精确估计.全文总共分为六章.第一章中主要介绍了Abelian积分的零点个数的相关背景,如弱化的Hilbert第16问题,及其现有的一些研究状态.并且讲解了我们所研究的问题及其意义.第二章中我们介绍了一些基本的概念及已有的一些Abelian积分零点个数估计的判别函数法.并在同一系统下推导出两种不同判别函数法的优劣性.最后应用所选择的方法得出一类Lienard系统在相应的扰动下至多出两个极限环,而另外一种方法却不能完整解决这类问题.第三章中研究的是余维3的幂零奇点的Bagdanov-Takens分支中的一个子问题,这个问题可以转化为被积函数含对数函数的Abelian积分零点个数问题.在文中利用化Picard-Fuchs方程的思路,可以将对数函数转换掉,此时相应Abelian积分化为积分函数为有理式的积分,使得相应的问题可以借助计算机代数系统来处理.进而可以结合判别函数法得出相应的Abelian积分至多产生两个零点.第四章中主要考虑了一类二次可逆系统的周期环域的环性问题,这类系统的首次积分带有对数函数.这个问题也转化为被积函数带对数函数的Abelian积分零点个数问题.在文中通过适当的变换将相应问题的研究转换成一个半代数系统进行分析,并且通过判别函数法证明其环性为2.基于这类系统含有两个中心,需要同时考虑两个周期环域的扰动,因此通过探讨相应Abelian积分比式的几何性质得出这类系统在二次扰动下所有可能的极限环的分布情况.第五章中研究了一类非光滑振子的Poincare分支问题.验证发现已有的一些判别函数法不能完全解决这个问题,进而改进已有的判别函数法,结合对应的Abelian积分在端点处的性态得出这类系统至多产生2个极限环,并且这个上界是可达的第六章中主要讨论了一类超椭圆积分的孤立零点个数问题.基于已有的一些判别函数法不能解决该问题,在文中我们给出一个新的判别函数法,并在一些特殊条件下简化了相应的判别函数法.在文中我们还得出新的判别函数法比第五章中的结果更为有效.最后利用新的判别函数法结合变动参数法得出当这类超椭圆积分的积分曲线位于实情形的闭曲线族内,其孤立零点个数至多为2,且这个界是可达的.