分岔问题在非线性动力系统中扮演着重要的角色,为了今后研究的需要,首先我们要给分岔下一个定义,考虑下面的系统：x=fu(x); x∈Rn,u∈Rl. (1)这是一个由l维参数u决定的微分方程系统,并且fu(x)=0的解,便是上面微分方程的平衡解.如果在u=u0处,(1)的流不是结构稳定的,我们便称u0是一个分岔值.从上面的定义中,我们发现分岔问题与流的结构之间有着密切的联系.实际上,若稳定流形与不稳定流形非横截相交,则该动力系统一定是结构不稳定的.为了阐述非线性系统与线性系统之间的关系,我们介绍哈德曼-格鲁巴定理：定理1假设O为非线性系统的双曲平衡点,则在O附近,存在一个包含O的小邻域U,在U内,f(x)与Df(0)x拓扑等价.实际上,上面的结论可以更精确些：定理2 (稳定流形定理)假设O为x=f(x)的双曲平衡点,则存在局部稳定流形Wlocs(O)与局部不稳定流形Wloclt(O),它们分别和线性系统的稳定子空间Es与不稳定子空间Eu有相同的维数ns与nu,并且在O点分别相切于Es与Eu.如果f的线性部分在原点附近没有纯虚数的特征根,那么根据稳定流形定理,可以得出结论：特征根实部的正、负数量决定着流在原点附近等价的拓扑结构.但是如果存在没有实数部分的特征根,那么在原点附近的流将会变得相当复杂.经过上面的分析,我们便得到了我们最重要的一个结论：定理3(中心流形定理)假设f是Cr向量场,并且原点是f的零点,那么在原点,存在与稳定子空间相切的Cr稳定流形Ws,与不稳定子空间相切的Cr不稳定流形Wu,并且存在一个在原点相切于中心子空间的Cr中心流形Wc.需要特别指出的是,对f的流而言,中心流形、稳定流形、不稳定流形都是不变流形,并且稳定流形及不稳定流形的存在是惟一的,而中心流形则未必唯一为了简化问题,同时也是因为物理学研究的需要,我们以后总是假设分岔系统不存在不稳定子空间,并且分岔系统的线性部分是分块对角形式的：这里,(x,y,u)∈Rn×Rm×Rl,B(u)和C(u)分别为n维和m维方阵,“参数”“应该被视作某种意义上的变量.在(x,y,u)=(0,0,0)处,B(u)和C(u)的特征根实部分别为零和负数,f,g以及它们的一阶偏微分都是零.因为中心流形与中心子空间(y=0)相切,于是我们便把它描述成如下定义的曲线：Wc={(x,y,u)}y=h(x,u),h(O,O)=Dh(O,0)=OO} (3)h：U→Rm,这里U是空间Rn+1中包含原点的一个邻域.我们现在考虑从向量场y=h(x,u)到中心子空间的投影定理4若在原点处,系统(4)是局部渐近稳定(不稳定),那么系统(2)在原点也是局部渐近稳定(不稳定)的.