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丢番图方程是数论的重要分支，是古老且活跃的数学方向之一.最近几十年，丢番图方程自身的发展非常活跃，而且广泛应用于其它各个领域.因此，丢番图方程已成为众多数学工作者热衷研究的对象.
对于丢番图方程1+X+Y=Z(X，Y，Z为正整数)，XYZ=2rpsqt可用来研究有限单群的分类.Alex，L.L与Foster，L.L.分别在p：3，q=5与p=3，q=7的情形给出了方程的全部正整数解.本论文主要应用初等方法研究了p=3，q=11时的情形，得到了如下结果：
一.研究XYZ仅含两个素因数的情形，即首先研究XYZ=2r11t与XYZ=3s11t时相应的6个指数丢番图方程，证明了：
(1).方程1+11x+2y11z=2u，x+z>0仅有整数解(1，2，0，4).
(2).方程1+11x+3y11z=3u，x+z>0仅有整数解(2，0，2，5).
(3).方程1+2x+2y11z=11u，x+y>0仅有整数解(1，3，0，1)，(3，1，0，1)，(5，3，1，2).
(4).方程1+3x+3y11z=11u，x+y>0仅有整数解(2，0，0，1)，(0，2，0，1).
(5).方程1+2x+11y=2z11u，zu>0仅有整数解(5，1，2，1).
(6).方程1+3x+11y=3z11u，zu>0无非负整数解.
二.给出了XYZ=2r3s11t时相应的12个方程的全部非负整数解.