近些年,养老金机制的优化管理已经日益成为一个重要的研究课题.原因很明显:一方面，由于养老金资本高度集中，它们在金融市场发挥着重要的作用，另一方面，人类预期寿命和平均年龄在过去十年大幅提升.因此，设计稳定的养老金机制以保障经济高效增长是政府，公司和学者面临的巨大挑战.从历史角度看,DB养老金曾经非常流行.然而,最近几年养老金计划的模式大部分是基于DC养老金模式制定的.从DB到DC模式的转换可能是由于人口数量的变化和股权市场的发展.全球养老金模式改革和日趋私有化，使得越来越多的学者和业界人士关注自主年金市场作为DB养老金模式的一种替代品.但是，退休者自发购买年金数量比理论预期要少得多,这就是所谓的“年金难题”.因此，许多学者和研究机构尝试完善年金设计模式并探索年金产品缺少购买力的原因.人寿保险是一个与金融数学非常相近的领域.目前很多学者通过构造量化模型来研究分析家庭或个人对人寿保险的需求.我的博士论文主要致力于解决人寿保险和养老保险中的随机控制问题.　　我的博士论文是基于随机动态规划原理和鞅方法这两种方法写出的.第一种方法是在Merton这篇文章中提出的，这种方法主要是通过构造求解的:构造一个控制,通过求解一个非线性偏微分方程得到一个解，然后通过验证定理验证这个解就是原问题的最优解.但是，通常很难构造一个解.当金融市场不完备或者控制变量有限制时，比如消费和财富要求非负，鞅方法在这些情况下显得尤为强大.例如Cox and Huang[16],Karatzas et al.和Cvitanic and Karatzas.但是，除了在对数效用下或模型系数是确定的，通常利用鞅方法很难得到显式的最优解.　　在第1章,我们简单介绍了人寿保险和养老保险问题的历史及其目前的研究现状.　　在第2章，我们研究了退休者在常数死亡强度下，最优投资消费及最优购买年金时刻的决策问题.退休者可以自行决定一个停时，在这一时刻，退休者用一定量的财富购买年金，之后在其死亡之前，每年都会得到一定量的年金收益.而且，我们不允许退休者借贷未来的年金收益，因为这笔钱依赖于退休者是否存活.与[36],[74]和[85]所研究的严格all-or-nothing模型不同，我们假设退休者在购买年金后可以继续进行投资和消费，并且可以改变其风险偏好水平.最后，结合随机动态规划原理和鞅方法，根据文章参数的不同取值，我们得到四种类型的解.最优购买年金的区域是波段型.在特殊情形下，最优购买年金的两个门槛重合或退化到+∞.　　Milevsky and Young[74]声称,由于逆向选择，年金购买是一项不可逆投资这一事实促使人们延迟购买年金.因此，在第2章考虑的模型中，我们允许退休者提早制定年金计划在未来利用财富F购买年金，这里F是一个固定的常数.鉴于巨额的医药花销，紧急事件或者遗产动机，对于退休者来讲用所有财富来购买年金一般是不符合实际的.所以，我们假设非负常数d是退休者在(Τ)时刻最低的财富底线，也就是说，X(Τ)≥F+d，这里X.是指退休者的财富过程.我们采用鞅方法和变分不等式的方法来分析这个带有自行决定停时的最优消费投资组合问题.在我们所考虑的问题中，财富过程是不连续的.Jeanblanc et al.[50]考虑了一个混合的最优停止/控制的问题，但主要应用动态规划的方法，没有考虑投资者风险偏好的改变.并且只给出了当参数满足一定条件时问题的解.在2.2节，我们提出了我们的模型及目标，引入了一个辅助的值函数U(x)，利用这一辅助函数将原问题转化成一个容易求解的形式.在2.3节,结合鞅方法和变分不等式的方法，我们推导出了辅助问题的闭型解.在2.4节，采用同样的方法，我们推导出了原问题的值函数和最优策略.最后，我们在2.5节利用数值例子分析并说明了我们所得到的理论结果.　　第3章研究了DC养老金模式中一个带有限制的优化问题，在这个模型中，退休者允许在将来的任一时刻购买年金而不必在退休时刻购买年金，这个权利被称为income drawdownoption.我们假设用来购买年金的基金额必须大于等于一个固定的常数K(＞0)，并且退休者的风险偏好在购买年金前与购买年金后是可以改变的.这个问题通过对最终用来购买年金的基金额附加最小保证金限制，扩展了在文章Stabile[85]中所考虑的问题.文章Stabile[85]只考虑了当基金购买者在购买年金后更厌恶风险的情况，而且没有考虑最小保证金限制.通过结合鞅方法和变分不等式的方法，我们得到了当风险厌恶系数取任意值时问题的闭型解.在3.2节，我们给出了模型和我们要解决的问题.在3.3节,通过结合鞅方法和变分不等式的方法，我们详细分析了这个问题，并得到了当风险厌恶系数取任意值时问题的值函数和相应的最优策略.在3.4节，我们通过一些数值例子来解释和说明我们得到的结果.　　在第4章,我们分析了一个DB养老金模型，这种养老金计划在职业制度中很普遍.　　众所周知，Markowitz[71]提出的均值方差方法是现代金融理论的基础.人们在这一课题上已经发表了很多文章.大部分文章处理的是单期的情形，因为在多期结构下均值方差准则缺乏重条件期望的性质，这会导致均值方差问题是时间不一致的，在某种意义上说Bellman最优原理不成立，因此传统动态规划原理的方法不能直接使用.　　在已有文献中，有两种基本方法来处理时间不一致问题.一种是寻找预先承诺的策略，这里的最优是指从起始点来看的最优.另一种是在博弈理论构架下研究时间不一致问题，寻找相应的时间一致策略（子博弈精炼纳什均衡点）,时间一致策略是指在t时刻推导的最优策略与在t+△t时刻推导的最优策略是一致的.很难要求投资者在整个投资范围内不偏离其在出始点选择的最优策略.一个理性的投资者在t时刻会考虑,在t+△t时刻她应该采用在t+△t时刻最优的策略.因此,在第4章，我们认真研究了时间不一致的问题,通过更新目标到Et,x，λ[Xπ(T)-Da(λ(T))]，同时假设风险厌恶系数依赖当前状态.具体讲，我们考虑了如下形式的目标函数J(t，x，λ，π)=1/2Vart，x，λ[Xπ(T)-Da(λ(T))]-（μ1x+μ2）Et，x，λ[Xπ（Τ）-Da（λ（Τ））].这里Da(λ(T))是基金的负债，μ1x+μ2表示依赖于基金状态的风险厌恶系数.我们解决了两个问题，在第一个问题中，补偿的缴费率是通过基金分期偿还的延展方法设定的.因此,只有投资策略是控制过程.在第2个问题中，缴费率和投资策略都是控制变量，目标是同时极小化缴费和偿付能力风险.此外，在这两个问题中我们用一般的马氏扩散过程模拟死亡强度的变化.Delong et al.[26]考虑了一个类似的问题，然而他们设法得到的是预先承诺策略.在4.3节，我们引入了依赖于状态的风险厌恶系数，即风险厌恶水平依赖于当前的财富量.因为对常数风险厌恶系数，我们得到的投资于风险资产的投资量与当前财富是独立的.这在经济上是不合理的.我们在博弈理论构架下描述均值方差问题并且给出了一个验证定理.同时，推导出了显式的时间一致策略和均衡值函数.在4.4节，我们考虑了带有缴费量风险的扩展的均值方差问题，得到了这一问题的解析结果.我们发现均衡投资和补偿的缴费率都依赖当前财富量和死亡强度.另外，为了和已有结果做比较我们也给出了当风险厌恶系数为常数时的最优策略和最优值函数.　　第5章包含两部分，考虑了最优人寿保险的需求及投资消费问题.　　5.1节主要处理了雇佣劳动者在固定退休时刻前所应采取的最优保险，投资消费的决策问题.我们假设股票价格与市场风险价格是相关的，市场风险价格服从一般的Ornstein-Uhlenbeck过程,相关系数记为ρ,并且|ρ|≤1，因此市场是不完备的.Kim and Omberg[59]曾经研究过这个模型，他们假设投资者不进行消费，通过极大化终端财富效用，他们得到了这一问题的闭型解.Watcher[87]在这一模型基础上加入了消费，推导出了当股票价格与市场风险价格完全负相依，即ρ=-1时问题的解析解.Pirvu and Zhang[79]在带有投资组合和人寿保险的问题中也考虑了这一股票价格模型并且ρ=-1.通过利用动态规划原理的方法，在CRRA效用下他们求出了这个问题的显式解.在这一节，我们分析了一般情形下的调解系数ρ,即|ρ|≤1.在鞅方法的基础上，我们给出了在对数效用函数下问题的显式解,对幂效用函数的情形，结合随机控制的方法，我们推导出了值函数满足的一个非线性偏微分方程，在完备市场情形下这个方程退化为线性的.　　5.2节我们讨论了当股票价格与市场风险价格完全负相依时，即ρ=-1情形下最优保险投资消费问题.目标是通过控制消费投资策略及人寿保险的需求，使得雇佣劳动者在死亡时刻Τd之前，消费遗产的期望效用最大化.具体讲，我们的目标是极大化J（t，Xt;c，π，I）=Et[∫(Τ)dt e-δ(s-t)u(c(s))ds+e-δ（(Τ)d-t）U（M（(Τ)d））].同时，我们假设个人在退休时刻Tr前享有随机的工资收入,并且消费和遗产效用属于HARA效用类，这是指消费和遗产要大于一个预先给定的下界.另外，我们假设消费效用在退休前后是不同的.利用鞅方法，我们得到了值函数和最优策略的解析解.这节的结果与最近Pirvu and Zhang[79]这篇文章考虑的问题类似.他们也考虑了在均值回归回报下最优资产分配和人寿保险需求的问题.应用动态规划原理，在CRRA效用和固定时间范围内他们解决了这个问题.但是在我们所考虑的模型中应用动态规划原理很难得到解析结果.　　在第6章，我们考虑了一个保险公司的投资决策问题，其中保险公司可以通过购买非便宜比例再保险来控制其所承担的理赔风险，再保险比例限制在区间[0，1]之间.保险公司的财富可以投资于风险资产和无风险资产,并且投资于风险资产和无风险资产的资金可以相互转移，但要付一定的交易费用.保险公司的目标是通过选择最优的投资再保险策略，极大化保险公司在破产前达到目标财富k的概率.通过使用HJB方程的方法，我们得到了这个问题的最优值函数和相应的最优策略.　　这篇博士论文主要致力于解决人寿保险和养老保险中的随机控制问题.主要贡献如下:　　通过结合随机控制方法和鞅方法，在第2章，我们研究了一个最优投资消费和年金购买的问题.与严格的all-or-nothing模型相比，我们允许退休者利用部分财富购买年金，并且在购买年金后继续进行投资和消费.　　在第2章，我们也假设个人的风险偏好在购买年金前后可以发生改变，但是我们不允许退休者借贷将来的年金收益，因为这份收益依赖于退休者是否存活.由于借贷限制，在注2.4.9,我们看到在情形1和2中，值函数在财富水平F处是不可微的.　　从数学的角度来看，在第2章中，我们所考虑的财富过程是不连续的.并且，这是一个混合的最优停止/正则控制问题，是很难处理的.但是我们解出了显式的最优策略和值函数.最优的年金购买区域是波段型的.在一些特殊情形下，购买年金的两个门槛重合或者退化到+∞.　　第3章考虑了DC养老金机制中带限制的最优化问题.退休者允许在将来退休后的任意时刻购买年金，并且用来购买年金的基金量要大于等于一个下边界K(＞0).这是一个混合带限制的最优停止和正则控制问题.　　在第3章所考虑的模型中，我们允许退休者在购买年金前后可以改变他们的风险偏好.通过结合鞅方法和变分不等式的方法，我们得到了当风险厌恶系数取任意值时该问题的闭型解.　　在第4章中我们所描述的均值方差问题的时间相一致策略与已有文献考虑的策略不同.从传统意义上讲，均值方差问题的最优策略指的是预先承诺策略,其最优是指在初始点求得的最优.但是一个理性的投资者在t时刻，会思考在t+△t时刻她/他应该采用在t+△t时刻的最优策略.因此，在这一章我们采用博弈的方法来研究这个问题，并寻找相应的时间相一致策略（子博弈精炼纳什均衡点），即在t时刻推导出的最优策略与在t+△t时刻推导出的最优策略一致.　　在第4章的模型中，我们研究了依赖于状态的风险厌恶系数，即风险厌恶水平动态地依赖于当前的财富，因为当风险厌恶系数是常数时,投资于风险资产的投资量是与当前财富独立，这在经济上是不合理的.　　在5.1节，我们研究了在不完备市场下，雇佣劳动者在退休之前最优保险投资消费的决策问题.这里我们假设股票价格与市场风险价格是相关的.已有的文献结果或者没有考虑投资者消费或者要求市场是完备的.　　在5.2节，通过控制消费投资和人寿保险的需求,我们极大化雇佣劳动者在死亡时刻(Τ)d前的消费和遗产的期望效用.同时，我们假设劳动者在退休时刻Tr前会得到随机的劳动收入，消费和遗产效用属于HARA类，并且消费效用在退休前后是不同的.基于鞅方法，我们计算出了这一问题的值函数和最优策略的解析表达式.　　在第6章中，我们讨论了保险公司的最优投资决策问题.在模型中，我们假设保险公司可以将它的财富投资于金融市场,包含一个无风险资产和一个风险资产,并且保险公司投资于这两种资产的资金可以相互转移,但是需要支付一定的交易费用.此外，保险公司允许通过购买非便宜的比例再保险来减少因为理赔所产生的风险，再保比例限制在区间[0，1]之间.保险公司的目标是通过选择最优投资再保险策略极大化保险公司的财富在破产前达到目标k的概率.目前，在已有研究非寿险模型的文献中很少考虑这种形式的交易费用.　　从随机控制理论的角度看，第6章所考虑的问题是一个带限制的奇异控制问题.一般来讲，这类问题很难求得显式的结果.通过采用HJB动态规划的方法来分析这个问题，依照模型中不同参数的取值，我们求得了这一问题有五种形式的显式结果.