本文主要围绕二维椭圆界面问题和Laplace-Beltrami问题中的线性有限元的超收敛现象展开研究.对于二维椭圆界面问题,用界面拟合网格来离散求解区域,然后用标准线性有限元来离散其模型方程.在适度结构网格的假设下,考虑了界面拟合对超收敛的影响,证明了线性有限元解超逼近于真解的线性插值,并由此导出了二维椭圆界面问题的一个最大模的估计.我们还结合最新顶点加密算法和B(o)rgers算法设计了一个二维界面拟合网格的快速生成算法.B(o)rgers算法是一个经典的二维界面拟合网格生成算法,其基本思想是在一致网格的基础上,把界面附近的网格结点扰动到界面上,然后对于界面附近被扰动的小四边形,选择适当的对角线来拟合界面和保持网格质量.对于适当光滑界面,可以证明B(o)rgers算法生成的界面拟合网格是拟一致的和正则的.但对于结构复杂的界面,B(o)rgers算法需要很密的一致网格来很好的拟合界面,这就使后续的计算浪费了很多不必要的计算量.改进后的B(o)rgers算法,可以用较少的网格点更好地拟合复杂的界面,且能保证生成的网格的正则性.改进后的算法生成的界面拟合网格还有一定的结构性,可以利用现有的粗化算法得到一组嵌套网格.基于这组嵌套网格,设计了一个高效的多重网格解法器来求解相应的代数系统,数值试验表明这个解法器关于问题的规模和扩散系数的间断都是稳健的.本文的网格生成算法所用的数据结构,局部加密和粗化算法都非常简单,不需要继承树结构来存储网格数据.　　对于Laplace-Beltrami(LB)问题,用三角形网格来逼近曲面,用曲面线性有限元来离散模型方程.同样在适度结构网格的假设下,考虑了用三角形网格逼近曲面带来的几何误差对超收敛的影响,证明了曲面线性有限元解超逼近于真解的线性插值.并把平面有限元中的几种梯度恢复格式推广到了曲面有限元上,其中包括简单平均,面积加权平均,全局和局部L2投影,以及Zienkiewicz和Zhu(ZZ)格式,并证明了恢复后的梯度可以更好的逼近真解的梯度.还考虑了曲面三角形网格的CVT优化问题,设计了一个足够光滑且能够反映曲面曲率变化的密度函数.实验表明这个密度函数用在曲面三角形网格的Lloyd优化方法中,可以有效改善网格的质量.