本研究应用旋转数和Poincar6—B irk h o ff不动点定理研究二阶渐近半线性方程的周期解的存在性和多解性。包括如下两个问题：二阶渐近半线性方程周期解的存在性和多解性；变号的二阶线性周期方程的旋转数的估算。当二阶时变位势方程中的位势函数满足超线性条件或满足次线性增长条件时，人们应用 Poincare—B irk h o ff不动点定理解决了方程周期解的存在性.也有学者研究了方程在原点和无穷远处有渐近半线性性质时，方程周期解的存在性和多解性.但这些成果均需要方程解的全局存在性假设.如何在解的全局存在性假设缺失的情况下应用Poincare—Birkhoff不动点定理讨论方程的周期解的存在性和多解性，这就是问题一的出发点.同时，应用 Poincare—Birkhoff不动点定理需要描述解的扭转，即角度的变化.直接计算角度变化需要一定的符号条件。用二阶线性周期方程的旋转数来帮助描述渐近半线性方程的解的角度变化.为此就需研究问题二。针对问题一，当方程解的全局存在性不能保证时，注意到Poincare—B irk h o ff不动点定理的应用只是局限在某个有限区域上.如果方程在某个有限区域的条件已可以保证足够的扭转性，我们就可以对原方程在原点或无穷远处改造使其满足解的全局存在性条件，再通过解的旋转圈数刻划方程的扭转性质.我们采用径向变化来控制解的旋转，得到盘旋性质，寻找适当的参数，改造方程.最后，通过线性方程的旋转数，我们构造出非线性方程解的扭转特征，使问题得到了解决。针对问题二，讨论了线性周期方程的旋转数的估算.最近 Margheri, Rebelo和Torres应用甘少波和章梅荣关于Hill方程的特征值与旋转数关系的工作来描述渐近半线性方程解的扭转性质，但变号权函数的H ill方程的特征值本身也不易估算.所以对于具体方程，尚没有一个比较有效的判断法则.比如我们并不知道对于最简单的Hill方程xn+λsintx=0它的旋转数与λ的关系。建立了线性周期方程的系数函数与旋转数的一些关系，从而得到了一些典型的线性周期方程旋转数的估算公式.