论文部分内容阅读
本文采用变分方法，用临界点理论研究了几类偏微分方程系统的解和多解的存在性.首先本文讨论了一类(p，q)-拉普拉斯椭圆系统(公式略)
其中△pu=div(|▽u|p-2▽u)是p-拉普拉斯算子，Ω(∈)RN是具有光滑边界(δ)Ω的非空开集.我们假设1＜p，q＜N(N≥3)或1＜p，q＜∞(N=1，2)，F∶Ω×R×R→R是C1函数且(Fu，Fv)=▽F，(Gu，Gv)=▽G，F，G满足如下假设:(G1)G∶(-Ω)×R×R→R是C1函数，满足G(x，c1/ps，c1/qt)=cG(x，s，t)(c＞0)和G(x，-s，-t)=G(x，s，t)，(A)x∈(Ω)，s，t∈R；(公式略)
一致成立，其中H(x，s，t)=1/p F9(x，s，t)s+1/q Ft(x,s,t)t-F(x，s，t).
我们得到下面的定理：
定理1假设F∶Ω×R×R→R是满足(F∞)的C1函数，且(G1)，(F1)，(F+)成立，那么问题(P)至少有一个解.
定理2假设F∶Ω×R×R→R是满足(F∞)的C1函数，且(G1)，(F1)，(F_)成立，那么问题(P)至少有一个解.然后本文讨论如下p-拉普拉斯系统
其中△pu=div(|▽u|p-2▽u)是p-拉普拉斯算子，Ω(∈)RN是具有光滑边界(δ)Ω的非空开集，λ是参数且λ∈R{0}.我们假设1＜p＜p*(若N＞p，则p*=Np/N-p；若N≤p，则P*=∞).定义F，G满足下面的假设:(F2)F∶(-Ω)×[0，∞)×[0，∞)→R是C1函数且满足F(x，tu，tv)=tβF(x，u，v)(t＞0)，其中1＜β＜p；(G2)G∶(-Ω)×[0，∞)×[0，∞)→R是C1函数且满足G(x，tu，tv)=tαG(x，u，v)(t＞0)，其中p＜α＜p*；(F3)对所有的t∈[0，∞)，我们有Fs(x，0，t)=0；对所有的s∈[0，∞)，我们有Ft(x，s，0)=0；(G3)对所有的t∈[0，∞)，我们有Gs(x，0，t)=0；对所有的s∈[0，∞)，我们有Gt(x，s，0)=0.
主要结果如下:
定理3假设(F2)，(F3)，(G2)和(G3)成立，那么存在λ0＞0使得当0＜|λ|≤λ0时问题(P)至少有两个非负解(u+，v+)和(u_，v_)满足u±≥0，v±≥0且u±≠0或v±≠0.