稀疏相位恢复（Sparse Phase Retrieval,SPR）是相位恢复的一个分支,近年来颇受关注。所谓稀疏相位恢复,即从少量的丢失相位信息的一组观测数据中恢复出原来的稀疏信号或图像这样一个问题。SPR在X射线成像、结晶学、电子显微镜等领域有重要应用。SPR分实背景下的SPR与复背景下的SPR两种类型。本论文主要研究实SPR及其两个延伸问题的最稀疏解的性质。主要内容安排如下。（1）利用lp松弛研究了实SPR的最稀疏解的性质。证明了存在一个常数0＜p*≤1使得对任意给定的p∈（0,p*）,相应的lp松弛的全局最优解一定存在而且该解一定是实SPR的最稀疏解,并得出常数p*的一个表达式:该式表明,常数p*与实SPR的稀疏性、相关矩阵以及向量有关。（2）利用lp松弛研究了实SPR及其延伸问题最稀疏解的唯一性。这里的实S PR延伸问题指的是绝对值方程组的部分-稀疏问题。通过lp松弛给出并证明了它们取得唯一最稀疏解的充分必要条件。附带地也研究了复SPR最稀疏解的唯一性问题。通过l1松弛给出并证明了复SPR取得唯一最稀疏解的充分必要条件。这些结果显示这些问题的最稀疏解的唯一性与压缩感知中的零空间性质密切相关。（3）利用非凸松弛研究了有限多个多胞形并集上的最稀疏解的性质。有限多个多胞形并集上的稀疏问题为实SPR的一个延伸问题。通过定义的一类函数,证明了由此函数类中任意给定的一个函数所构造的非凸松弛一定存在常数0＜p*≤1,使得区间（0,p*）上任意给定的p对应的非凸松弛问题一定存在最优解而且这些解一定为原多胞形并集上的最稀疏解。对多个具体的稀疏问题也进行了详细讨论,并给出了相应的理论结果。