一个受随机参激或随机外激作用的动力学系统,其响应在相空间内发生随机扩散。当系统响应第一次离开某个安全域或允许域时,就称系统发生了首次穿越。首次穿越问题广泛存在于工程、物理与化学、生物、医学、经济等学科中。工程中,大型桥梁、高层建筑等结构常常受到风、大气紊流等随机载荷作用而产生随机振动。当振动超过一定的阈值,结构就会损伤或破坏。首次穿越损坏就是其中的一种损坏模式。对于结构系统,系统的状态停留在安全域内的概率就是可靠性,系统状态首次越过安全域边界的时间就是寿命。由于首次穿越与可靠性密切相关,研究首次穿越问题具有重要的理论与实际意义。然而,在理论分析中,首次穿越问题是随机动力学中的困难问题,迄今只有当响应为扩散的Markov过程时才有严格的理论。此时,系统的可靠性函数由后向Kolmogorov方程决定,平均首次穿越时间(寿命)由Pontryagin方程决定。由于后向Kolmogorov方程与Pontryagin方程均为偏微分方程,已知的精确解限于一维、时齐情形。工程实际中的随机振动系统都是多自由度的,相应的首次穿越问题的后向Kolmogorov方程以及Pontryagin方程均为高维偏微分方程。要得到系统的可靠性函数以及平均首次穿越时间等统计量,需要求解高维偏微分方程。因此,研究多自由度随机振动系统的首次穿越问题是一项困难的工作。　　本文应用平均法,结合扩散的Markov过程理论,研究了几类多自由度强非线性随机振动系统的首次穿越问题,得到了系统的条件可靠性函数、平均首次穿越时间以及首次穿越时间的条件概率密度等概率统计量。具体工作包含以下几个方面：第一章为绪论。本章介绍了首次穿越问题的工程以及科学背景、研究意义,综述了首次穿越问题的研究现状。提出了本文的研究任务。第二章介绍基于广义谐和函数的随机平均法。随机激励常常模型化为高斯白噪声或宽带噪声。本章介绍了几类典型随机激励下多自由度强非线性随机振动系统的随机平均法,包括高斯白噪声、宽带噪声、谐和力与宽带噪声等。得到了系统关于振幅和(或)相位角组合的平均It?随机微分方程,为后面几章研究首次穿越问题做准备。第三章研究高斯白噪声激励的多自由度强非线性系统的首次穿越问题。在非内共振情形,在平均It?随机微分方程的基础上,建立了决定条件可靠性函数与平均首次穿越时间的后向Kolmogorov方程与Pontryagin方程。以5自由度的强非线性耦合Duffing-van der Pol系统为例,通过数值模拟,验证了理论方法的有效性。第四章研究宽带噪声激励的多自由度强非线性随机振动系统的首次穿越。宽带噪声更符合工程实际,但理论分析难度较大。在作平均时既要作随机平均,还要做确定性平均。与第三章类似,在平均It?随机微分方程的基础上,建立后向Kolmogorov方程与Pontryagin方程。以5自由度的强非线性系统为例,证明了理论方法的有效性。第五章研究谐和力与宽带噪声激励的多自由度强非线性系统的首次穿越问题。由于存在谐和力,可能存在外共振。同时由于是多自由度系统,可能还存在内共振。当既没有外共振,又没有内共振时,在一次近似分析中谐和力的作用可以忽略。此种情况退化为第四章的情形。当系统中存在共振(外共振、同时具有内外共振)时,引入相应的相位角组合,得到关于振幅与相位角组合的平均It?随机微分方程。在此基础上建立后向Kolmogorov方程与Pontryagin方程,求得系统的条件可靠性函数与平均首次穿越时间。第六章对全文进行总结,并对未来的研究方向进行了展望。