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该论文由四个部分组成.第一部分,即第一章,是对该论文所涉及的问题的背景、进展以及所得结果的一个综述.第二部分包含四章,即第二章到第五章.在该部分,主要研究了图中的一些参数,如度和、领域并等对图的圈结构特征的作用和影响.首先在第一章,利用度和与连通度κ的关系给出了3-连通图中每一个最长圈是控制圈的一个充分条件(详见定理1.2.6),其次在第三章,研究了度和与图G的差数(difference,定义为diff(G)=p(G)-c(G))之间的关系,得到3-连通图G满足diff(G)≤1的一个新的度和条件(详见定理1.3.7),再次在第四章,证明了3-连通图G中过特定边的最长圈的长至少是min{|V(G)|,2μ(G)},除非G是两类例外图(详见定理1.4.6),其中μ(G)=min{max{d<,G>(u),d<,G>(υ)}:d<,G>(u,υ)=2},最后在第五章,给出了可圈图的充分条件—领域并条件(详见定理1.5.6),此结果即将在Discrete Applied Mathematics上发表.在第三部分,即第六章,研究一种在化学图论中有应用背景的拓扑指标—连通指标(connectivity index).首先指出了[25]中的关于无三角形图的特殊连通指标—Randic指标的一个下界的证明过程中的错误,并且给出了正确的证明(详见定理1.6.2);其次,讨论和刻画了有k个悬挂点的树的连通指标的上界和下界,以及达到这些上界和下界时的极值图或者极值图类(详见定理1.6.5—定理1.6.8).在第四部分中,首先利用矩阵理论和技巧分别给出了图的拉普拉斯谱半径的上界和拉普拉斯谱半径的Nordaus-Gaddum型不等式(详见定理1.7.1和定理1.7.2),此结果已发表在Linear Algebra and its Applications 376(2004).其次利用图的拉普拉斯谱给出了图的一些重要的不变量,如团数、独立数、控制数和覆盖数的估计值(详见定理1.7.8,定理1.7.10,定理1.7.11,定理1.7.12和定理1.7.14),并推广了许多已有的结果(定量1.7.6,定理1.7.7,定理1.7.13).最后我们分别利用图的拉普拉斯谱和图的邻接谱给出了图的连通指标的新的界(详见定理1.7.15和定理1.7.16),此结果已发表在MATCH Communications in Mathematical and Computer Chemistry 51(2004).审稿人对此结果给予了好评(参见附录),称"这是首次把连通指标与拉普拉斯谱联系起来,开辟了拉普拉斯谱在化学中应用的新领域."