近年来,人工超材料无论在理论研究还是实验应用上都取得很大的发展。人工超材料,顾名思义就是人为设计的用来调控电磁波,声波和液体表面波的周期性结构。按照人工超材料的晶格常数与所调控的经典波的波长的大小关系,人工超材料又可以分为光/声子晶体,超表面,超材料三大类。基于人工超材料结构,人们可以取得负折射效应,隧穿效应,自准直效应,超棱镜效应等自然材料所没有的新颖的物理现象。根据布洛赫定理,周期排列的结构可以用能带理论来进行描述,在低频率范围之内,这些周期排列的结构的等效参数可以由有效介质理论来得到。因此,调控能带结构成为研究人工超材料的一个重要手段。本论文主要设计能带结构中的奇异点(类狄拉克点和双狄拉克点),并利用有效介质理论来研究它们的奇特输运性质,主要包括波面整形,聚焦,定向,隐身等。此外,通过构造类自旋来实现经典波中的拓扑,取得类比于电子体系中的拓扑现象包括自旋相关的定向输运,缺陷抗反射传播等。我们的研究工作丰富经典波的传输特性,对进一步的研究工作有借鉴意义。具体研究内容体现如下:1、采用包层结构按正方晶格排列在基底水中,在能带结构中出现局域共振产生的平带,放大平带后,发现布里渊区中心有类狄拉克点。在类狄拉克点附近,采用(?)微扰法得到能带,和利用有限元方法得到的能带在布里渊区中心附近吻合。为了进一步描述体系的性质,我们还采用有效介质理论来提取声子晶体在类狄拉克点频率位置的等效参数。证实了我们的体系是一个零折射率结构。零折射率的无穷大相速度和零相位变化给我们带来了完美透射,波面整形,聚焦和隐身等应用,这些有趣的声波透射现象都通过有限元模拟予以证实。2、在水表面波中,通过调制水槽的拓扑结构,实现狄拉克锥在倒格子空间布里渊区中心的双重简并,在双狄拉克点频率附近,体系表现出零折射率材料的很多性质,例如对不同入射角的入射波选择性透射,对波束的等量劈裂,隧穿和隐身等。对构建水波能量的提取和引导器件有潜在的应用。3、在水表面波中,通过调制水槽的拓扑结构,实现两个双重简并态在布里渊区中心位置的互换。通过原胞的空间对称性构造量子自旋霍尔效应。写出体系的哈密顿量,其表达形式与电子体系BHZ模型中的一样,再由哈密顿量得到体系的陈数,由此可以确定体系的拓扑态。由不同拓扑性质的周期结构形成的界面会出现两条相交的边缘态能带,在不同的边缘态能带上,体系在界面处有和类自旋相关的传播取向,此特点被我们利用来制作自旋劈裂器。此外,因为受到时间反演对称性的保护,我们体系中的边缘态在界面上也有缺陷抗反射输运的拓扑特点。4、把铁柱子按照蜂巢晶格排列在空气基底中,每个原胞中的两个铁柱子大小不相等,由于空间反演对称性被打破,在布里渊区的不等价角点k和k’位置的狄拉克点出现劈裂,产生带隙。在带隙的上下带边能谷位置,出现方向相反的轨道角动量。由于时间反演对称性,相同频率的不同角点位置,轨道角动量方向也是相反的。由不同能谷陈数的体系组成的界面的边缘态具有单向传播特性,不一样的能谷态激发导致不同的波传输行为,这种谷差异物理性质的研究加深了我们对拓扑态的理解。