【摘 要】
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随机微分方程能够精确刻画现实世界中事物的运动发展规律,因而,研究随机微分方程可以更好地认识事物的变化和发展,从而更好地指导实践。由于随机微分方程右端函数的非线性性和耦合性,导致无法直接计算随机微分方程的精确解。因而在近似求解随机微分方程的过程中,学者们发现基于系统特有结构构造求解随机微分方程的数值方法能够得到长时间定性正确的数值解。本文基于保持系统守恒量这一特有结构,分别利用连续级值随机Runge
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随机微分方程能够精确刻画现实世界中事物的运动发展规律,因而,研究随机微分方程可以更好地认识事物的变化和发展,从而更好地指导实践。由于随机微分方程右端函数的非线性性和耦合性,导致无法直接计算随机微分方程的精确解。因而在近似求解随机微分方程的过程中,学者们发现基于系统特有结构构造求解随机微分方程的数值方法能够得到长时间定性正确的数值解。本文基于保持系统守恒量这一特有结构,分别利用连续级值随机Runge-Kutta（CSSRK）方法和随机守恒律乘子方法求解具有守恒量的随机微分方程。首先,本文介绍了随机微分方程和保守恒量数值方法的研究背景和研究现状,并简述本文用到的预备知识。本文第二章介绍了第一类数值方法——CSSRK方法。本文利用CSSRK方法求解具有一般守恒量的随机微分方程,得到CSSRK方法保持一般守恒量的充分条件,其后借助单一积分函数得到CSSRK方法保持守恒量的必要条件,并构造1阶保守恒量的CSSRK方法。最后,本文选取有代表性的数值实验进行模拟,检验CSSRK方法保持系统守恒量的能力。本文第三章介绍了第二类数值方法——随机守恒律乘子方法。本文基于常微分方程守恒律乘子方法的思想,推广到随机微分方程的随机守恒律乘子理论,并借助守恒量和守恒律乘子之间的对应关系定理构造了保持随机微分方程守恒量的随机守恒律乘子法。然后基于离散格式构造了几类求解随机微分方程保守恒量的数值方法。最后通过数值实验,检验方法保持系统单守恒量及多守恒量的能力。
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