数论的研究对象是整数,整数在人们的印象中无疑是简单的,但如果直接研究它却有着意想不到的困难。因而必须将它扩大,在更大更广的平台上来研究。在整数产生以后,由于实际问题的需要,人们想到了分数,就是有理数域。最初,人们以为用有理数就能表示自然界的一切,譬如说线段的长度等。但是,随着毕达哥拉斯学派发现了勾股定理,最终导致了第一个非有理数“√2”的产生,这迫使人们将有理数扩大到实数,有理数域的第一个完备化:实数域也就随之产生了。后来,由于解多项式方程的需要,人们引进“√-1”,得到了第一个代数闭域C:复数域,它是代数数域Q(√-1)的完备化。在其后的几百年里,人们的思维一直停留在这两个域上。直到上世纪初期,人们才找到了有理数域的其他完备化Qp,它有别于实数域和复数域,是完全不连通的,也没有序结构。　　在几何中,人们总是通过局部来研究整体,透过直观知道,这是一件非常自然的事情。事实上,在数论中,用局部来控制整体也是一种非常重要的方法。不像几何中那么直观,对代数数域,R,C以及其他的一些非阿基米德局部域就是它的局部,如R和Qp就是Q的所有局部。虽然说想用局部来完全控制整体是一件不切实际的幻想,但这并不妨碍局部域的重要性。事实上局部域本身也是一个非常有趣的研究对象。而且局部之间还有紧密的联系,包括经典的二次互反律在内的许多互反律,也反应了许多的整体性质。本文就是研究了局部域的一些性质,并最后对整体域算术问题做了一些尝试。　　由J.M.Fontain的理论,我们知道,特征0的局部域与特征p的局部域之间有非常重要的联系。他证明了这样一个定理:(公式略)。在这里,k是一个特征p的perfect域,W(k)是k的Witt-环,K是W(k)的分式域,K~是K的一个固定的代数闭包,Kcyc是K添加所有的单位根。在我们的研究中,特征0的问题与特征p的问题经常是相互转化的,如在第一部分,我们必须将特征p的域提升至特征0;而在第二部分,我们为了找到最大Abel扩张的一组基,则要用到上面的J.M.Fontain的定理,将特征0的问题转化到特征p。　　文章的第一部分,研究的是特征p的情形,是在刘春雷教授的指导下完成的。主要研究n-维环面在Witt coverings下的L-函数,我们证明了它是一个有理函数，并且精确地计算了它的次数，它推广了Dwork，Bombieri以及Adolphson-Sperber关于n-维环面在Artin-Schreiercoverings下的L-函数方面的结论。　　文章的第二部分是研究特征0的局部域的高阶互反律，这是在徐飞教授的指导下完成的.众所周知局部类域论给出了局部域的极大abelian扩张的精确描述，即给出基域的乘法群到极大abelian扩张的Galois群的互反映射.在这一章里，我们递归的给出了更高阶的极大abelian扩张的一个刻画，即给出基域的乘法子群到极大abelian扩张的Galois群的互反映射。　　文章的第三部分是研究特征。的局部域的S},与A。扩张的个数，我们给出了一个精确的公式.LR.Safarevic，M.Yamagishi计算了当G是P-群时的G-扩张的个数，我们用他们和K.Krasner的结果，计算了一种非P-群并且不交换的情形。　　文章的第四部分是关于分圆域的平方和问题，是研究一个最小的整数二，使得对每一个整数能被。个整数的平方和来表示.第三部分与第四部分是与纪春岗教授共同研究完成的。