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如今，各学科之间的交叉性和互融性越来越明显，数学作为自然科学的基础也不例外，在物理以及工程方面逐渐起着支柱性学科的作用.微分方程作为数学的一大领域，其解的存在性和唯一性决定了现实生活中的问题是否可以得到解决，进一步而言，其解的性能则影响了实际问题的方方面面.本文主要以波方程为研究对象，以实际问题为背景，在众多学者研究结论的铺垫下，主要针对三类特定条件下的波方程的衰减情况作了进一步的研究.
第一章作为本文的引言，主要对正文内容作了简单性介绍.
第二章研究了耦合波方程的指数稳定性.在Najafi.等学者对耦合振动波方程系统的一般微分方程能量指数衰减探讨的基础上，对如下方程作了改进:｛utt-c21△u-l(u-)=0在Ω×(0，∞),vtt-c22△v-l(v-u)=0在Ω×(0，∞)，u(x,0)=u0()∈H1(Ωu)， ut(x,0)=u1()∈L2(Ωu),(x,0)=v0(x)∈H1(Ωu), vt(x,0)=v1(x)∈L2(Ω),其中Ωu，Ωv，关于矢量场r(x)=[r1(x)，…，rn(x)]∈C2（(Q)u∪(Q)u）满足下面的边值条件:｛Γu1={x∈Γu:r(x)·v(x)＞0},Γu0={x∈Γu:r(x)·v(x)≤0},Γv1={x∈Γu:r(x)·v(x)＞0},Γv0={x∈Γu:r(x)·v(x)≤0},v(x)是外单位法向量，其中x∈Γi，i=0，1.则边界条件可描述如下:｛u(x，t)=0，在Γu0×(0，∞)，c12(a)u/(a)v=-β1(x)(r·v)ut，在Γu1×(0，∞)，v(x，t)=0，在Γv0×(0，∞)， c22(a)u/(a)v=-β2(x)(r·v)v2，在Γv1×(0，∞)，
本文对上述并联（两个）振动系统增加阻尼项后，探讨了如下方程的能量衰减情况:｛utt-c21△u=l(—u)+β（vt-ut），在Ω×(0，∞)，vtt-c22△v=l（u-）+β（ut-vt），在Ω×(0，∞)，u(x，0)=u0∈H1(Ωu)， ut(x，0)=u1∈L2(Ωu)，v(x，0)=0∈H1(Ωu), vt(x,0)=1∈L2(Ω),其中Ωu，Ωuv，关于矢量场r(x)=[r1(x)，…，rn(x)]∈C2（(Ω)u∪(Ω)v）满足下面的边值条件:｛Γu1={x∈Γu:r(x)·v(x)＞0},Γu0={x∈Γu:r(x)·v(x)≤0},Γv1={x∈Γu:r(x)·v(x)＞0},Γv0={x∈Γu:r(x)·v(x)≤0},v(x)是外单位法向量，其中x∈Γi，i=0，1处的单位外法向量，则边界条件可描述如下:｛u(x，t)=0，在Γu0×(0，∞)，c12(a)u/(a)v=-β1(x)(r·v)ut，在Γu1×(0，∞)，(x，t)=0，在Γv0×(0，∞)，c22(a)u/(a)v=-β2(x)(r·v)vt，在Γv1×(0，∞)，这一问题会在隔离物体外部干扰方面有潜在的应用.
第三章主要研究了柔性空间结构中带阻尼波方程.在Gorain，Boso，Horn等对n维-Kirchhoff波方程探究的基础上，即:｛utt+2ut=(a2+b∫Ω|▽u|2dx)△u,Ω×R+u=0Γ0×R+，(a)u/(a)v=0，Γ1×R+u(,0)=u0(x), ut(x,0)=u1(x) x∈Ω对上述方程做了推广.本文在在混合边界的情况下，在上述系统方程边界的一部分上施加了个高速反馈控制后，即｛utt+2ut=(a2+b∫Ω|▽u|2dx)△u,Ω×R+u=0Γ0×R+，(a)u/(a)v=-(m·v)ut，Γ1×R+u(x，0)=u0(x)， ut(x，0)=u1(x)x∈Ω证明了系统是一致稳定的，且给出了一致能量衰减估计式.
第四章是对一类带阻尼波方程的稳定性做了研究.Chen，Lagnese，Lasiecka，Lions等已针对非阻尼波方程:｛utt=△uΩ×R+u=0Γ0×R+(a)u/(a)v=-b(x)ut,Γ1×R+u(x，0)=u0(x)ut(x，0)=u1(x)x∈Ω给出了估计式E(t)≤Me-βtE(0)(∨)t＞0.本章在上述方程左边增加了内部阻尼之后，即:｛utt+δut=△uΩ×R+u=0Γ0×R+(a)u/(a)v=0，Γ1×R+u(x,0)=u0(x) ut(x,0)=u1(x) x∈Ω证明了系统一致指数衰减，给出了能量衰减估计式.