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Banach空间的单位球的凸性研究是Banach空间的几何理论的重要部分，按Banach空间的凸性分类，一种极端情况是。“一致凸性”，而另一种极端情况便是。“平坦性”。众所周知，前者是一类非常有用的空间，这类理论和应用研究成果已经组成一个庞大而完备的体系。关于“平坦性”研究，也早已引起众多数学家的兴趣(例如，见[5]，[11]，[12]，[13]，[19]等)。本文的主要目的就是讨论“平坦性”空间的范数的Gateaux可微点和Frechet可微点的几何和拓扑特征.
我们称Banach空间X为CL-空间，如果Bx可以表示为单位球面上任意极大凸子集的均衡凸包，即Bx=co(H∪-H)，其中H是Sx的任意-个极大凸子集。而如果Bx=co(H∪-H)，称X为几乎CL-空间。
本文主要讨论了CL-空间和几乎CL-空间中的Gateaux可微点和Frechet可微点的几何拓扑性质。确切地说，令M为CL-空间单位球面上任意一个极大凸子集，CM代表由M所生成的锥，则X的所有Gateaux可微点的集合是∪n-sCM，目所有的Frdchet的可微点的集合是∪int(CM)，(其中，n-s(CM)是CM的所以非支撑点的集合)。