本文讨论了分形几何中的若干问题。研究了连分数展式和二进制展式中一些集合的豪斯多夫维数，以及一般随机莫朗集的填充维数。具体如下： 1、连分数展式中含有Szemer（?）di点的集合的豪斯多夫维数。 设[α1（x），α2（x），…]是实数x∈[0，1)的连分数展式，这就使[0，1)内的每一个无理数就和一个无穷整数序列{αn（x）}n=1∞对应起来。Szemer（?）证明了如果一个整数子集在自然数集中具有正密度，那么它包含任意长的算数级数。我们考虑在连分数展式中，包含任意长的算数级数的点的集合有多大? 在第三章，我们首先给出了Szemer（?）di点和绝对Szemer（?）di点的定义，并求出了包含Szemer（?）di点和绝对Szemer（?）di点的集合的豪斯多夫维数。 2、二进制展式中的run-length函数的研究。 设任意实数x∈[0，1)，是x的二进制展式，我们简记（ε1（x），…，εn（x），…）．对任意的n≥1以及x∈[0，1)，二进制展式中的run-length函数rn（x）是指在实数x的二进制展式（ε1（x），…，εn（x））中连续出现1的最长的长度。即：rn（x）=max{εi+1=…=εi+j=1，0≤i≤n—j}． R（?）nyi证明了对几乎所有的x∈[0，1)有 马际华，文志英，文胜友证明了不满足R（?）nyi定理中极限式的点的集合的豪斯多夫维数为1。我们则考虑了下面两个集合的豪斯多夫维数：其中{δn}n=1∞是一个不减的整数序列，满足当n→∞时，δn→∞。 通过分析rn的性质，我们得到了 （1）如果（?）δn+δn/δn=1，那么dimH E({δn}n=1∞=1． （2）dimH F({δn}n=1∞)=max{0，1-（?）δn/n}． 3、一般随机莫朗集的填充维数的研究。 二十世纪八十年代，Falconer，Graf，Mauldin和Williams研究了在莫朗构造中，把每一步都随机化后得到的随机分形集。他们不仅讨论了其几何性质还得到了与这些随机构造相关的随机分形的豪斯多夫维数。刘妍岩，文志英和吴军推广了Falconer，Graf，Mauldin和Williams的工作，进一步研究了压缩比在不同阶不同分布的一般随机莫朗集的豪斯多夫维数。我们将在他们工作基础上进一步求压缩比在不同阶不同分布的一般随机莫朗集的填充维数。刘，文和吴通过分析极限随机变量矩的存在性以及找出其界来研究，而我们则是通过估计其负矩来进行讨论。