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设P是一平面凸多边形,△是一三角形.如果P能够被剖分成有限多个互不重叠的与△相似的三角形的并,那么称此剖分为多边形P的相似三角剖分.若铺砌P的三角形两两互不全等,则称此剖分为P的完美三角剖分.三角形△称为剖分的铺砌元.在P的一个相似三角剖分中,若三角形的某两个角,比如角α和角β,满足在该剖分的每个顶点V处,角α的个数和角β的个数相等,则称此剖分为正则三角剖分.否则称之为非正则三角剖分.记Rn为正n-边形,(α,β,γ)是内角为α,β,γ的三角形,在第二章中主要研究了Rn(n≥5)的相似直角三角剖分.证明了以下3个结论：对任意整数n(n≥5,n≠6),直角三角形(π/3,π/6,π/2)和(π/4,π/4,π/2)不能铺砌Rm对任意整数n(≥7),若直角三角形(α,β,π/2)能正则铺砌Rn。,则(α,β,γ)=(2π/n,π/2-2π/n,π/2).对任意整数n(≥7),若直角三角形(α,β,γ)能非正则铺砌Rn。,则(α,β)=(π/2-π/n,π/n),(2π/n,π/2-2π/n),或(π/3-2π/3n,π/6+2π/3n).论文第三章借助矩形的相似三角剖分和三角形的完美三角剖分的性质研究了直角三角形(α,π/2-α,π/2)(其中0<α≤π/4)的完美非直角三角剖分问题.由参考文献[4]可知,铺砌(α,π/2-α,π/2)的非直角三角形最多是下列四种：(π/4,π/3,5π/12),(π/6,π/6,2π/3),(π/8,π/4,5π/8),(π/12,π/4,2π/3).由参考文献[1]可知,在(α,π/2-α,π/2)的完美非直角三角剖分中,铺砌元的个数至少为6.因此本章证明了以下4个结论：(α,π/2-α,π/2)不存在铺砌元个数为6的(π/6,π/4,2π/3)的完美剖分.(α,π/2-α,π/2)不存在铺砌元个数为6的(π/4,π/3,5π/12)的完美剖分.(α,π/2-α,π/2)不存在铺砌元个数为6的(π/8,π/4,5π/8)的完美剖分.(α,π/2-α,π/2)不存在铺砌元个数为6的(π/12,π/4,2π/3)的完美剖分.