局部域上的谱集和tiles

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设G是局部紧的阿贝尔群,Ω(?)G是具有有限Haar正测度的Borel集,我们称Ω为谱集,若存在G的连续特征(?)(?)G,使得构成Hilbert空间L2(Ω)的一组正交基.此时,A称为Ω的一个谱,(Ω,(?))称为一个谱对.另一方面,我们称Ω为G的一个平移tile,若存在离散集合T(?)G,使得{Ω+ t}t∈T构成G的一个测度不交划分.此时,T称为Ω的一个平移集,(Ω,T)为一个tiling对.对于谱集与tile有下面的猜想.谱集猜想:Ω是一个谱集当且仅当Ω是G的一个平移tile.本学位论文将主要讨论非阿基米德局部域上的谱集猜想.具体安排如下:在第一章中,我们介绍谱集猜想的研究背景.在第二章中,我们介绍局部域.主要是以p-进数域Qp为例介绍局部域上的度量,局部域的特殊拓扑机构,局部域上的积分理论.在第三章中,我们考虑局部域上的向量空间上的谱集猜想.具体的说,令Ω是Kd上的满足0<m(Ω)<∞的Haar可测集合.假设(?)是Kd上的拟格且(?)*是其对偶拟格.则(Ω,(?))是一个tiling对当且仅当(Ω,(?)*)是一个谱对.该结果发表在J.Math.Anal.Appl.上.在第四章中,我们主要讨论p-进向量空间Qpd上的笛卡尔积中的谱集与tiling问题.设Ω1(?)Qpd1和Ω2(?)Qpd2 分别是有界可测集合.我们考虑如下问题:如果Ω1和Ω2分别是Qpd1和Qpd2上的谱集(或tile),那么它们的笛卡尔积Ω1 × Ω2是否在乘积空间Qpd1× Qpd2上的谱集(或tile)反之是否成立?对于tiles,我们肯定的回答上述问题.对于一般谱集,如果两个集合分别在相应空间上谱集,那么它们的笛卡尔积在乘积空间上的谱集.在第五章中,我们提出接下来需要进一步研究的问题.
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