【摘 要】
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近年来,关于拉普拉斯方程以及方程组的多重正解、基态解、符号变化解的研究成果逐渐增多.此外,包含拉普拉斯算子的耦合薛定谔方程组也逐渐出现在物理学的分支中,比较常见的是用其描述非线性薛定谔场与阿贝尔规范理论中的电磁场问题.因此,薛定谔方程组正基态解的存在性问题被广泛研究,尤其是临界非线性增长的薛定谔方程组的基态解问题.但是经典的Brezis和Nirenberg的方法似乎并不能适用于所有情况,所以此类问
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近年来,关于拉普拉斯方程以及方程组的多重正解、基态解、符号变化解的研究成果逐渐增多.此外,包含拉普拉斯算子的耦合薛定谔方程组也逐渐出现在物理学的分支中,比较常见的是用其描述非线性薛定谔场与阿贝尔规范理论中的电磁场问题.因此,薛定谔方程组正基态解的存在性问题被广泛研究,尤其是临界非线性增长的薛定谔方程组的基态解问题.但是经典的Brezis和Nirenberg的方法似乎并不能适用于所有情况,所以此类问题仍需要进一步研究.介于薛定谔方程对数学以及其它领域的重要意义,结合目前对薛定谔方程的研究情况,本文将重点针对几类具有不同特征的薛定方程组解的存在性与多重性问题进行研究.首先,利用变分法说明了带有干扰项的分数阶薛定谔方程至少有两个解.一方面证明方程对应的Nehari流形非空,且其对应的极小值是一致有界的,另一方面证明极小值可达且方程存在两个不同的解.其次,借助山路定理对带有非线性临界指数的分数阶薛定谔方程基态解的存在性问题进行分情况讨论.为了便于研究,我们先考虑方程组在极限情况（Ω=RN且λ=0）下基态解的存在性问题.运用与极限情况类似的方法得出在一般情况下方程组基态解的存在性相关结论.最后,基于变分法对上述方程组在磁场环境中的基态解问题进行分情况讨论.当N＞4s时,通过讨论与方程组能量泛函相关函数的性质,证明方程组一定存在基态解.当N=4s时,根据参数的取值范围,对方程组对应Nehari流形的半平凡偶对存在与否进行讨论并给出具体证明.
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