本文共四章．在第一章中，我们介绍了有限域上的一些基本定义以及正规基的相关结果． 基于田甜和戚文峰于2006年证明的互反本原正规基的存在性，我们在第二章给出了对偶互反正规基乘法表的一个刻画，并对互反正规基的存在性问题进行了部分补充．本章最后还给出了全部的互反本原最优正规基． 对于Blake等人于1994年利用Fq上多项式cxq+1+dxq—ax—b的分解构造出的一些复杂度不大于3n-2的正规基，我们在第三章给出了其对偶基及乘法表．本章最后还给出了2-型高斯正规基的对偶基及对偶基复杂度的上界． 在第四章．我们利用简单的组合逻辑电路分别在Ⅰ型和Ⅱ型最优正规基上设计出了新的并行乘法器，其中Ⅰ型最优正规基并行乘法器所需异或门数为3n-4，与门数为n，Ⅱ型最优正规基并行乘法器所需异或门数为2n-2，与门数为n．与Sunar和Koc于2001年在Ⅱ型最优正规基上提出的并行正规基乘法器对照．此乘法器大大减少了所需要的门数，从而有效地降低了硬件消耗的资源．