材料和结构的脆性断裂广泛存在于土木、机械、航空航天、船舶、汽车等国民经济的各行各业中,其发生具有突然性,无明显的先兆变形,严重威胁着工程结构和工业装备的安全运行。对脆性断裂作深入研究对于揭示裂纹产生、扩展和融合等复杂断裂现象的力学机制乃至防止结构断裂事故的发生具有十分重要的意义。传统的脆性断裂分析以经典的Griffith理论为基础,数值模拟需要特别处理裂纹处的位移间断和裂尖的应力奇异性,导致多裂纹和三维裂纹的数值模拟十分繁复。而且,经典的Griffith裂纹模型多用于裂纹扩展,无法直接处理裂纹的萌生、融合等,需引入额外的判据。然而,研究和确定合适的断裂判据也绝非易事。相场模型是研究裂纹的另一途径,它的研究可以追溯到20世纪90年代末提出的脆性断裂的变分原理。该方法引入一个相场函数将裂纹模型化为未破坏和完全破坏材料之间的连续过渡,从而将裂纹的间断问题转化为相场函数的连续分布问题,在数值模拟中无需追踪和处理裂纹的间断,有效简化了多裂纹和三维裂纹模拟的数值实现。而且,相场模型也无需引入额外的断裂准则即可方便地模拟裂纹萌生、扩展和融合等复杂断裂现象。然而,为准确捕捉断裂区域内相场的高梯度变化,空间离散通常需要使用非常密的计算网格,导致了难以承受的计算量和过低的计算效率,尤其对于三维断裂的计算分析。针对该问题,本文采用能够精确通过线性和二次分片试验的一致性无单元Galerkin方法数值求解断裂相场模型,研究和建立随裂纹扩展自动在裂纹附近进行局部节点加密的自适应算法,有效减少空间离散所需的节点数目,提高断裂相场模型的计算效率。本文的具体工作简述如下:首先,针对局部高梯度问题的数值求解,本文建立了一致性无单元Galerkin方法的自适应算法。一致性无单元Galerkin方法通过导数修正技术有效改善了标准无单元Galerkin方法的计算效率、精度和收敛性。在此基础之上,本文进一步充分利用了无单元法的节点形函数不依赖于网格单元的优点,通过背景积分网格的局部多层细化加密计算节点,针对过渡背景积分单元构造满足一致性条件的积分格式,并基于应变能密度梯度触发节点的局部加密,建立了一致性无单元Galerkin方法的自适应算法。线弹性算例的数值结果表明,该算法能够自动加密应力高梯度区域的计算节点,形成合理的节点分布。与标准无单元Galerkin方法的自适应分析相比,所发展的方法在计算效率、精度和应力场光滑性等方面均展现出显著优势,为后续有效处理断裂相场模型中的局部高梯度问题奠定了坚实的基础。该自适应算法的建立及其数值验证将在本文第四章中给出。随后,针对裂纹萌生、扩展和融合等问题的数值模拟和分析,本文提出了脆性断裂相场模型的自适应一致性无单元Galerkin方法。本文采用基于应变谱分解的断裂相场模型描述裂纹的力学行为,采用一致性无单元Galerkin方法数值求解相场和力场方程。在相场模型中,应变能历程驱动着相场变量的演化,针对这一特点,本文建立了基于最大残余应变能历程和相场变量的自适应准则,并由该准则确定需要加密节点的局部区域,从而实现了脆性断裂问题的自适应分析。本文采用该方法有效模拟了裂纹萌生、扩展和融合过程,尤其是成功模拟了三维裂纹的非平面扩展（如裂纹面的扭转）,显著减少了所需节点数目和求解规模,提高了计算效率。而且,与线性有限元方法和标准的无单元Galerkin方法相比,本文方法具有更高的计算精度。本文第五章将具体阐述断裂相场模型的自适应一致性无单元Galerkin方法及其数值验证。最后,本文在所提出的断裂相场模型的自适应一致性无单元Galerkin方法中进一步考虑了材料参数的梯度分布,发展了功能梯度材料断裂分析的无单元Galerkin方法。与均匀材料相比,功能梯度材料由于其材料参数的梯度分布导致了更加复杂的应力场,准确的裂纹模拟变得更为困难。考虑到移动最小二乘近似所具有的高光滑性以及一致性积分格式均有助于应力场的高精度求解,本文采用一致性无单元Galerkin方法求解功能梯度材料问题,并通过数值算例验证了有效性。在此基础之上,本文进一步引入了功能梯度材料的断裂相场模型,同样采用一致性无单元Galerkin方法对其进行数值求解,并建立了相应的自适应准则,实现了功能梯度材料二维和三维裂纹扩展的自适应分析。数值结果表明,本文方法能够准确地反映材料参数的梯度分布对裂纹路径的影响,并在一定程度上揭示了裂纹扩展受控于应变能历程和临界能量释放率的断裂机制。本文第六章将详细讨论功能梯度材料断裂相场模型的无单元分析方法及数值结果。为了论文的完整性,本文第二章和第三章分别介绍了脆性断裂相场模型和Galerkin型无网格法的基本概念和基础理论。第七章为结论与展望,附录介绍了本文方法的计算机程序设计。