Wiener指数是经典的化学拓扑指数之一,它能反映化学分子的结构和性质,从而具有非常重要的研究研究意义。因而自Wiener指数在1947被化学家Harold Wiener提出后,受到了很多人的关注,成为了研究的热点问题。近几十年来,关于Wiener指数的研究成果丰硕。本文主要研究的是推广了的Wiener指数S(G),它定义为图G的所有顶点对之间的距离的平方和,我们称之为平方Wiener指数,即S(G)=∑u,vd2(u,v),其中d(u,v)是顶点u,v之间的距离。本文给出了关于Wiener指数及推广后的Wiener指数S(G)的基本介绍、研究背景与研究进展,并给出了路,圈以及最小度至少为2的图的平方Wiener指数S(G)与线图的平方Wiener指数S(L(G))的关系。与图的Wiener指数类似,图的惯性指数(包括图的邻接矩阵的秩、零特征值的重数即零维数、正惯性指数与负惯性指数、符号差)也是经典的化学拓扑指数,由于与图的邻接矩阵的特征值有关,也是重要的代数指数。根据量子化学相关理论,不饱和碳氢化合物分子图的惯性指数与其分子性质的活跃程度关系密切。分子图的所有特征值越大时,其所带的电量就越小,化学性质相对较不活泼。其中正惯性指数越大,分子所带的电量就越小。这一发现,令惯性指数的研究迅速成为化学图论与代数图论的热点之一。本文给出了惯性指数的研究背景,意义以及研究现状。接着针对近年来一个关于符号差的猜想:对任意简单图有-c3(G)≤s(G)≤c5(G),验证了对拟完全图和拟完全二部图这个猜想是成立的,并且进一步给出了伪完全图的符号差。本文还刻画了正惯性指数为2的树,单圈图及双圈图,并完全决定了包含三角形的秩为6的单圈图。图[17]表[0]参[56]