细长梁模型可以代表应用及科学领域中许多基本的结构元素,例如土木工程、机械工程、生物医学工程、材料科学以及分子物理学。用于细长梁模型的无剪应变Kirchhoff梁理论要求横向位移的C1连续性,这为开发相应的有限单元带来了数值上的困难。不同于传统的有限元分析,等几何分析将CAD中的非均匀有理B样条（Non-uniform rational B-spline,NURBS）基函数作为用于CAE的插值函数,消除了网格划分产生的几何误差且简化了网格细化的过程,并且NURBS基函数的连续性是可控制的。得益于这些优势,许多研究者都对等几何分析在Kirchhoff梁问题的应用产生了浓厚的兴趣。现有的研究很多都忽略了空间Kirchhoff梁等几何单元的不变性。所谓不变性是指固体发生由平动和转动（包括大转动和小转动）组成的刚体运动时,其应变始终不变。此性质不仅是物理上的重要概念,还在数值上对单元的性能有着非常直接和积极的影响。我们发现现有的线性等几何单元,或不满足小转动下的不变性;或虽满足,但其适用性和性能都受到了限制。而现有的非线性等几何单元都不满足大转动下的不变性,此外,其几何刚度矩阵可能未考虑空间转动自由度的影响。据此,本文针对空间Kirchhoff梁等几何单元的不变性做了如下研究:（1）利用梁的Cosserat几何描述,即通过梁质心轴曲线和由三个正交单位方向向量组成的材料坐标系确定梁上任意一点的位置,在三维连续介质理论基础上,建立了一致的几何精确Kirchhoff梁理论。该理论定义了功共轭的应变度量和应力合成力及二者间的本构关系,并建立了应力合成力的平衡微分方程,从而将三维连续介质的增量虚功方程退化为一维梁的形式。其中,几何刚度算子（即初始应力产生的总势能）,不仅额外包含了法向应力和畸变剪应力的贡献,还特别考虑了空间转动自由度的影响。此几何刚度算子与Reissner-Simo梁理论中的几何切线算子完全一致,且由此导出的局部几何刚度矩阵将是不对称矩阵。此外,所定义的应变度量及其增量分别在大转动和小转动范围内都是不变的。（2）开发了两种不变的线性等几何单元:其中一种单元使用NURBS基函数的弧长导数作为插值函数,产生了Cp-2（p为多项式阶数）连续的扭转角插值;而另一种使用的混合插值技术通过引入有限元领域内的Lagrange插值来精确表示刚体模态,并保证了高阶的Cp-1连续性。一系列数值算例有效地验证了新等几何单元的精确性和稳定性。对于变曲率的梁,新等几何单元相较于现有的单元均能得到正确的固定端反力和更精确的位移和应力合成力结果。（3）将不变的运动学插值用于建立空间Kirchhoff梁的几何刚度矩阵。对于保守荷载作用下的梁结构,包括内部力矩和外部保守力矩的情况,在变形位形处于平衡状态的条件下,整体组装过程最终产生了对称的几何刚度矩阵。反之,非保守荷载下的整体几何刚度矩阵则是不对称的。此外,还验证了本文理论中几何刚度算子是符合刚体准则的,再通过使用不变的运动学插值,得到了能够通过刚体测试的几何刚度矩阵。数值算例表明此不变的等几何单元能够精确模拟许多一般的屈曲问题,包括受外部保守力矩作用的、带角节点的和几何性质复杂的梁结构,且比传统的有限元精度更高。（4）基于具有转动协变性的更新最小转动（smallest rotation,SR）参考坐标系,开发了一种新的非线性几何精确梁等几何单元,并证明了该单元满足不变性和路径无关性。相反,现有的完全SR单元则是非不变的,而其衍生出的（非不变的）增量SR单元虽然避免了奇异现象,但是其路径无关性遭到了破坏。数值算例表明,不变性在某些情况下对单元的性能有显著的影响。此外,还通过一系列标准算例验证了新的更新SR单元能够精确模拟包括曲线梁和角连接在内的复杂空间梁问题。