压缩感知是一种新的信息获取指导理论,实现了远低于奈奎斯特-香农采样频率的数据采集,减少了信号恢复所需要的数据量.本文考虑的是具有不同特征的信号以及低秩矩阵的重构问题,主要研究不同的重构方法能成功恢复信号和低秩矩阵的恢复条件,所考虑的都是基于高阶RIP的恢复保证.对现有的加权l1极小方法恢复带有先验支集信息的信号、混合l2/l1极小方法恢复具有块结构的信号、l1-分析法恢复在冗余字典下具有稀疏表示的信号以及Schatten-p极小方法重构低秩矩阵的恢复条件进行了改进和延伸,得到了更为一般的结果,并将他们与已有的结论进行比较,讨论恢复条件的最优性以及重构性能的优越性.全文的主要研究内容以及论文组织结构如下:第一章简要介绍压缩感知的研究背景和发展状况,本文出现的符号和基本概念,以及本文的主要工作.第二章研究具有先验支集信息的信号的重构条件.首先,建立在有噪音和无噪音情况下,加权l1极小方法稳定和精确恢复稀疏信号的基于高阶RIP以及基于RIC和ROC的恢复条件.当先验支集信息的精确度不低于50%时,所建立的恢复条件比现有的基于l1极小方法的最优恢复条件要弱,同时还提供了更优的重构性能.进一步证明了基于加权l1极小方法的恢复条件是最优的.第三章考虑具有块结构的信号的恢复条件.首先建立多胞体的块稀疏表示,利用这种表示得到一个基于高阶块RIP的恢复条件.它能保证混合l2/l1极小方法在有噪音时稳定恢复块稀疏信号,在无噪音时精确恢复块稀疏信号.此外,通过构造一个实例证明这个恢复条件是最优的.本章的意义在于与传统的稀疏模式相比,利用块稀疏结构可以在更一般的条件下实现信号的恢复.最后得到高斯随机矩阵高概率满足所建立的恢复条件需要的观测值数,其所需要的观测值数比高概率满足标准RIP所需要的观测值数要少.第四章研究在冗余字典下具有稀疏表示的信号的重构条件.基于高阶D-RIP条件,利用l1-分析法实现在有噪音和无噪音情形下具有稀疏表示的信号的稳定和精确恢复.第五章考虑低秩矩阵的恢复条件.基于矩阵的奇异值分解,通过Schatten-p极小方法建立低秩矩阵稳定和精确恢复的恢复条件.该条件突破了核模极小方法所需的RIP恢复条件的范围.