框架理论与采样定理是当前国际上研究的热点领域，框架在数学领域和工程领域都扮演着十分重要的角色．采样定理则是信号处理中常用的基本工具之一，小波框架与Gabor框架是两类十分重要的框架．超框架则是人们近年来引入的一个新概念，在信号处理中有着很好的应用．本篇论文主要研究了框架和超框架的构造和一些性质，此外还给出了一类频谱有限函数的局部采样定理，本文的主要内容如下．　　 第一章是引言，主要介绍了这篇论文的背景知识、主要内容与结构安排．寻找可验证的小波系构成小波框架的充分条件和必要条件是小波分析的核心问题之一．Daubechies在[1]中给出了规则的小波系构成小波框架的一个充分条件，通过数值的例子我们知道，她的估计非常地好．然而，对于不规则的情况，由于问题更加地复杂，我们很难应用同样的方法．Sun和Zhou在中得到了单变量的小波系构成L2(R)的不规则框架的充分条件，并且给出了显式的框架界．本文的第二章证明了在高维的情况下也有类似的结论，下面这个定理说明，如果，足够好，并且伸缩平移参数序列齐次逼近性质是框架的重要性质之一，由齐次逼近性质可以导出离散Gabor系或离散小波系构成框架的密度性条件。框架的密度性条件也是当前框架研究的热点问题之一，相关结果可以参见等．Gabor框架的齐次逼近性质是Ramanathan和Steger在[9]中引入的．小波框架的齐次逼近性质意味着当用框架展开式重构一个函数时，如果对函数和框架展开式的参数都进行时间尺度平移，那么在逼近误差一定的情况下，框架展开式在这个误差下重构函数所需的重构块数本质上是不变的．小波框架的齐次逼近性质是非常重要的性质，并且在实际中有着很好的应用，关于数量伸缩小波框架的齐次逼近性质，已有大量的结论，例如等，然而，对矩阵伸缩小波框架的齐次逼近性质的研究，仍有许多尚未解决的问题．在中，作者证明了具有某种形式的矩阵伸缩小波框架具备齐次逼近性质，对于一般的情况，问题仍未解决，第三章证明了如果小波函数足够好，那么这个小波函数生成的任意扩张矩阵伸缩小波框架具有齐次逼近性质，这一章首先得到了下面的这个定理．小波框架是框架中非常重要的一类．超框架是近年来人们引入的一个新概念．我们可以参阅文献[15-20]来了解超框架的一些结论，在[21]中，Balan指出超框架可被应用于通信中的信号处理，尤其在时分多址(TDMA)和频分多址(FDMA)中，超框架更是有着很好的应用．我们知道只要．是一个超框架，那么就有，对任意的的一个小波框架．然而，反之则未必成立．尽管小波系构成小波框架的必要条件和充分条件已经得到了大量的研究[22-25，1，26-29，2，30-32]，但是对小波超框架的必要条件和充分条件，人们研究得还不是很多．论文的第四章研究了小波超框架的构造与性质，将一些小波框架的结果推广到了小波超框架．第四章的第三节讨论了一个超小波系构成一个超框架或一个加权超框架的充分条件．在下面的定理中，采样点（s j，k，uk)是任意的．第四章的第三节还给出了采样点具有某种特殊的形式时小波超框架的一个充分条件，一个不规则小波超框架稳定性的结论．在[24】中，Chui和Shi给出了小波框架的一个不等式．第四章的第五节证明了小波超框架也有类似的一个不等式．也即下面的定理．定理4假设a>l，b>0，ψ=(ψ1，…，ψ1)r∈L5(R)(r)．如果{f(aj，ajbk)w:j,K，∈Z）构成r(R)(r)的一个框架，且框架下界和框架上界分别为A和B那么我们就有框架理论的一个重要应用是可以将一个函数分解成框架系数，再通过框架系数来研究函数的性质，从框架系数恢复原函数的一个重要方法是利用框架级数，这时需要预先知道对偶框架，对偶框架的计算是框架理论中一个极具挑战性的课题，也是一个框架应用中急需解决的问题，关于对偶框架的结论，我们可以参阅[33-42].Gabor框架又称为Wely-Heisenberg框架，是一类重要的框架．对Gabor框架的对偶框架的研究是理论研究的热点问题，我们可以参阅文献[36-42]来了解相关的结论，超框架在信号处理中有着重要的应用，也是近来的研究热点，第五章研究了对偶超Gabor框架的构造，主要结果是下面的定理．如果{EmbTnag）是，L2(R)的框架，则{Emb/rTnag）m,n6Z是L(R)(r)的框架．　　 采样定理是信号分析的一个重要工具．关于频谱有限函数的采样定理和平移不变子空间的采样定理已有大量的结论，可参见[43-53].采样定理的许多己知结果考虑的都是整体采样，而局部采样可以利用有限个采样值来局部精准地恢复原函数，所以在实际中有着重要的应用，如果给定一个函数空间y和一个区间【1，b]，都存在一列采样点{xk:O