约束矩阵方程广泛应用于系统工程、自动控制、统计学、经济学、网络规划、土木工程、振动理论等,研究约束矩阵方程的解的秩和定秩解问题,对于丰富和完善约束矩阵方程理论有极其重要的意义。本篇论文主要研究以下问题:问题I给定矩阵集合记求S₁中元素X的最大秩M和最小秩m ,以及最小秩的元素构成的子集问题II给定矩阵集合记求S₂中元素X的最大秩M和最小秩m ,以及最小秩的元素构成的子集问题III给定矩阵确定S₃中元素X, Y的最大秩和最小秩,并给出X, Y的秩分别达到最小时的表达式。问题IV给定矩阵分别确定S 4中元素X ,Y的最大秩和最小秩。本文主要研究成果如下:1.对于问题I,当集合S分别为中心对称、对称和双对称矩阵时,利用矩阵的奇异值分解、商奇异值分解,得到了集合S1中元素X的最大秩、最小秩以及S1 *元素的表达式,特别地,S为中心对称矩阵时,给出了对给定矩阵的最佳逼近解,以及相应的算法和数值实例。2.对于问题II,当B = A,S分别为一般实矩阵及对称矩阵时,主要利用矩阵的奇异值分解,给出了集合S 2中元素X的最大秩、最小秩以及S 2*元素的表达式;当B为一般实矩阵时,利用矩阵对的商奇异值分解,得到了相应的结论。3.利用三矩阵奇异值分解（RSVD）及秩的相关不等式,研究了问题III,得到了S 3中元素X , Y的最大秩和最小秩,且给出了X , Y的秩分别达到最小时的通式。4.利用矩阵的奇异值分解及秩的相关结论,得到了问题IV的解;另外,将矩阵方程AXA^T = C的双对称解的秩的问题转化为问题IV进行研究,得到了相应的结论。