【摘 要】
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第n极大子群的性质对群结构有着很重要的影响,本文研究了第四极大子群都循环的有限群.设G是有限非平凡群,如果G中第m极大子群都循环且存在非循环的第m-1极大子群,记m为l（G）.设n=p1α1p2α2…pkαk为正整数n的标准分解式,其中p1＜p2＜…＜pk皆为素数,αi（i=1,2,…,k）皆为正整数,令Ω（n）=α1+α2+…αk,ω（n）=k,ω（1）=0.当ω（n）=0或 1,规定P（n）=
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第n极大子群的性质对群结构有着很重要的影响,本文研究了第四极大子群都循环的有限群.设G是有限非平凡群,如果G中第m极大子群都循环且存在非循环的第m-1极大子群,记m为l（G）.设n=p1α1p2α2…pkαk为正整数n的标准分解式,其中p1＜p2＜…＜pk皆为素数,αi（i=1,2,…,k）皆为正整数,令Ω（n）=α1+α2+…αk,ω（n）=k,ω（1）=0.当ω（n）=0或 1,规定P（n）=0,当ω（n）＞1,规定P（n）=min{α1,α2,…,αk}.记Q2n为2n阶广义四元数群,Zn为n阶循环群,Fqr为核Zq,补Zr的qr阶Frobenius群,Dn为n阶二面体群,SmallGroup（n,i）为GAP软件中n阶群第i个小群.本论文证明了以下结果:定理A设G是有限群且p,q,r为互异素数,则l（G）=3当且仅当G同构于以下群之一:（1）G为除群Zp~4和Q16外的p4阶群;（2）G≌Q32;（3）G=＜a,b|am=bn=1,b-1ab=as＞,（（s-1）n,m）=1,2 ≤ω（G）≤4,Sn≡1（mod m）,|G|=nm,Ω（m）+Ω（n0）+P（n/n0）=4,其中 n0 是最小使sn0三1（modm）成立的正整数;（4）G≌P（?）Zq,其中P为除群Zp~3和Q8外的p~3阶群;（5）G≌Q16 × Zq,这里q为奇素数;（6）G≌Zq（?）P,其中P为Q16或除群Zp~3和Q8外的p~3阶群;（7）G≌（Zp×Zp）（?）Zq2,Zq2（?）（Zp × Zp）;（8）G≌Zq2（?）Q8,这里q为奇素数;（9）G ≌（Zp × Zp）（?）（Zq × Zq）;（10）G≌SmallGroup（72,3）,SmallGroup（72,25）;（11）G≌Zr（?）SL（2,3）,这里r ≥ 5是素数;（12）G≌Zr（?）（Zq（?）Q8）,这里r,q为互异奇素数;（13）G ≌Fqr（?）（Zp × Zp）;（14）G≌Zr（?）（Zp × Zp）（?）Zq);（15）G≌Zr（?）Zq（?）（Zp × Zp）);（16）G≌（Zp × Zp）（?）Zqr,其中Zqr忠实地作用在Zp × Zp上且qr | p2-1;（17）G≌（Zp × Zp）（?）D2q,其中D2q忠实地作用在Zp × Zp上且p,q为互异奇素数;（18）G≌SL（2,5）;（19）G≌PSL（2,p）,这里p=5,13或p是素数,满足Ω（p-1）=Ω（p+1）=3,p ≡±3（mod 8）且p（?）±1（mod 10）.定理B设G是有限非可解群,则1（G）=4当且仅当G同构于以下群之一:（1）G≌PSL（2,q）,这里q=7,8,9,11,19,27,29或q是素数,满足max{Ω（q-1）,Ω（q+1）}=4;（2）G≌SL（2,p）,这里p是素数,满足p=7,11,13,19,29或Ω（p-1）=Ω（p+1）=3,p ≡±3（mod 8）,p（?）±1（mod 10）或Ω（p-1）≤ 3,Ω（p+1）=4;（3）G≌SmallGroup（240,89）;（4）G≌SL（2,5）× Zr,这里r是奇素数;（5）G ≌PSL（2,p）×Zr,这里p,r 是素数,满足p=5,13 或Ω（p-1）=Ω（p+1）=3,p ≡±3（mod 8）且 p（?）±1（mod 10）;（6）G≌PGL（2,p）,这里p=5,13或p是素数,满足Ω（p-1）=Ω（p+1）=3.
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