Hamilton系统的动力学稳定性是动力系统研究的中心问题之一。自从成功解决二体问题后,牛顿即着手研究三体问题。他显然意识到了三体系统蕴含着极其复杂的动力学现象。自此以后,经过Lagrange、Hamilton、Poincare等一代宗师和许多数学家的努力,人们对于动力学稳定性的描述与理解不断加深。上世纪五、六十年代,由Kolmogorov,Arnold与Moser建立的经典的KAM理论,证明了近可积Hamilton系统在Lebesgue测度意义下大部分运动的稳定性。应用KAM理论于两个自由度的自治系统和一个自由度的时间周期系统,人们完全解决了椭圆型周期轨道Lyapunov稳定性。　　 在系统自由度n＞2时,我们无法应用KAM理论得到所有轨道的拓扑稳定性。一个自然的问题是,是否存在轨道可以走遍相空间(非自治情况)或是走遍整个等能量面(自治情况)?对于近可积系统而言,沿着KAM环面上的轨道,系统的作用量的变化始终不会超过√∈的量级。作为解决稠轨道问题的前提,人们希望知道是否存在轨道,其作用量的改变达到1,或者达到充分大的量级?Arnold构造了一个具有两个自由度的时间周期的近可积系统,该系统存在一条轨道,其作用量具有任意大的改变[Ar2]。Arnold以此例支持他的猜测[Ar4],[AKN]:高维系统中的典型情况是存在作用量可以发生充分大变化的轨道.这就是著名的Arnold扩散问题。本文研究的是近可积正定Hamilton系统中的Arnold扩散问题,包括自治系统中扩散轨道的变分构造,以及一类非自治经典力学系统的无界轨道的变分构造。　　 研究Arnold扩散主要有两种方法:一种是始于Arnold的几何方法,依赖于几何结构的局部分析;另一种是变分方法,基本框架由Mather创立。变分方法能够有效地研究正定Hamilton系统中的动力学问题,不需要过多的几何结构信息,因此,变分方法被看作是解决Arnold扩散的一套更行之有效的方法。Ugo Bessi于96年发表的一篇文章首次从变分的观点研究扩散问题,将运用Arhold机制寻找到的扩散轨道纳入变分框架[Bes]。运用变分方法,程崇庆和严军解决了预双曲情形下的任意自由度周期非自治Hamilton系统的Arnold扩散(见[ChY1]与[ChY2])。在本文前两章中,我们将对上述内容进行较为详细的阐述。　　 本文的第三与第四章用于研究自治系统的扩散轨道的变分构造。运用变分方法构造扩散轨道主要依赖于一系列局部极小连接轨道的存在性。这些局部极小轨道有两种类型,一是c-等价,二是异宿轨。在自治Hamilton系统中,Mather提出的c-等价不再有应用意义:由此定义的c-等价的同调类位于α-函数的同一平台内,所有这些同调类的Aubry集含有共同的轨道。而且,极小测度支撑以外的Ma(n)é集在时间截面上也不可能完全不连通。因此,在第三章中,我们研究在自治系统里如何建立了有应用价值的c-等价概念,如何要求Ma(n)é集的某种非连通性,由此提出专门适用于自治系统的广义转移链,证明这种广义转移链的存在即意味着等能量中扩散轨道的存在。在第四章中,我们将此构造运用于自治系统里预双曲条件下Arnold扩散的研究,得到扩散轨道存在的通有性。　　 由于正定系统的等能量面一定紧致,因此自治系统的轨道在相空间中一定有界,如果系统周期依赖于时间(周期非自治),则沿着某条轨道,系统的能量可能趋于无穷。Mather在93年提出了一个猜测:如果dim M＞2,通有的系统存在无界轨道。在第五章中,我们研究一个周期依赖于时间的两个自由度的经典力学系统,该系统存在无界轨道,沿着这条轨道,系统速度的一个分量可以从任意有限值趋于无穷。