众所周知,经典的傅立叶变换是一种全局性变换,因此它无法表述信号的时频局部特性。于是,在信号处理和光学领域中提出了一系列诸如小波变换、分数阶傅立叶变换等新的信号分析理论。分数阶傅立叶变换在工学领域已经有广泛的应用,但在理论层面上对其研究不够深入,且相关的学术论著较少。本文将从理论角度展开对分数阶傅立叶变换的研究。首先,分数阶傅立叶变换有很多不同角度下的定义方式。本篇论文撰写的切入点,是在S.Abdullah的一些文章的启发下,并且基于H.M.Ozaktas等人的著作《The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and Signal Processing》中的相关理论知识,提出了四元数值函数分数阶傅立叶变换(以下简记为QFFT)的定义。其次,本文研究了QFFT的一系列相关性质,如线性性、交换性、结合性、QFFT的逆变换、与导数的关系等。最后,本文考虑了QFFT的实Paley-Wiener定理和Boas定理,尤其是L~p(R~2,H)函数空间中的实Paley-Wiener定理,这是现有文献中还未展开研究的新切入点。此外,在QFFT的实Paley-Wiener定理的证明过程中,本文证明了QFFT的偏导数定理;同时,由于在L~p(R~2,H)函数空间中没有卷积公式,本文采用调和分析中恒等逼近的思想解决这个问题;而且,当p?2时,QFFT没有Plancherel定理,于是本文利用逐点估计的思想解决这个问题;最后,本文还拓展了QFFT的Boas定理。