【摘 要】
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本文考虑热传导方程源项未知的反问题,利用末时刻温度信息来估计热源分布,其中源项未知部分只与空间变量相关.现有的大部分研究考虑通过整个介质区域上的温度信息进行反演,但在一些应用场景中并不能获得整个区域上的数据,因此本文围绕利用局部测量数据来反演热源的问题进行研究,主要工作包括以下两方面:首先,研究带有第一类边界条件的热传导方程系统,通过末时刻介质内部局部区域上含噪声的测量数据来重建未知源项.对此反问
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本文考虑热传导方程源项未知的反问题,利用末时刻温度信息来估计热源分布,其中源项未知部分只与空间变量相关.现有的大部分研究考虑通过整个介质区域上的温度信息进行反演,但在一些应用场景中并不能获得整个区域上的数据,因此本文围绕利用局部测量数据来反演热源的问题进行研究,主要工作包括以下两方面:首先,研究带有第一类边界条件的热传导方程系统,通过末时刻介质内部局部区域上含噪声的测量数据来重建未知源项.对此反问题,本文在已有的理论工作的基础上利用Tikhonov正则化方法对二维问题进行了数值仿真,并分析局部测量区域的大小、位置等对反演结果的影响.其次,研究带有阻尼边界条件的热传导方程系统,根据末时刻局部区域上带有噪声的测量数据同时反演介质边界阻尼系数和介质内部热源.针对该问题,本文首先利用最值原理和特征函数展开证明了反问题的解在允许集内是唯一的.再对给定的局部测量数据利用磨光化方法反演边界阻尼系数,并得到结果的误差估计.利用得到的边界阻尼系数,我们继续求解热源反问题,并分析了求解过程中的误差传播情况.在数值实验方面,本文的重建算法分两步:第一步利用磨光化方法重建Robin系数;第二步将重建热源的问题转化为最优化问题,基于共轭梯度法的思想,推导出利用局部数据反演热源的数值算法.
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