【摘 要】
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环的交换图以及有限群环的clean性一直以来是研究热点,本文主要研究环的交换图猜想以及有限群环的*-clean性.首先我们研究环的交换图猜想,设R为含有单位元的一个有限非交换环
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环的交换图以及有限群环的clean性一直以来是研究热点,本文主要研究环的交换图猜想以及有限群环的*-clean性.首先我们研究环的交换图猜想,设R为含有单位元的一个有限非交换环,在R上定义了一个图:图的顶点为R中的非中心元素,两个不同的顶点是相连的如果它们可交换,此图称为R的交换图,用Г(R)表示.设F是一个有限域,Mn(F)表示F上n × n矩阵环,其中n≥ 2是一个正整数.对于交换图Г(R)有如下的猜想:如果Г(R)和Г(Mn(F))图同构,则R和Mn(F)环同构(称为AGHM猜想).本文我们将证明:如果AGHM猜想对v,w是成立的,则它对vw也成立,其中v和w都是大于1的正整数.因此这个结果是发表在[Finite Fields Appl.56(2019),93-96]的一个主要结果的推广.最后研究有限群环的*-clean性,令G表示一个n阶有限交换群,Fq表示一个q阶有限域.假设n=p1r1p2r2…plrl,其中pi(1 ≤i≤l)是素数,P1=2,P1＜P2＜…＜Pl,r1≥0,ri＞ 0(2≤i≤l).我们知道对于任意一个有限交换群G有如下的分解:G=G1×G2×…×Gl,其中Gi是G的一个Sylow Pi-子群,1≤i≤l.因此,对于任意的g∈G,有g=g1g2…gl,gi∈Gi,1 ≤i≤l.本文根据G的阶构造了FqG的两个对合*如下:(1)若|G|是偶数,即r1＞0,则*:FqG→FqG,∑rgg1g2…gl(?)∑rgg1a1g2a2…glal,其中a1∈{2r1-1-1,2r1-1-1+1,1,-1},对于2≤i≤l,ai=1或-1,且ai(1≤i≤l)不全为1;(2)若|G|是奇数,即r1=0,则*:FqG→FqG,∑rgg1g2…gl(?)∑rgg1a1g2a2…glal,其中ai=1或-1,1≤i≤l,且ai(1≤i≤l)不全为1.本文通过剩余类环Fq[x]/的幂等元给出了群代数FqG在上面的对合下是*-clean环时的刻画.
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