本论文由两部分构成.第一部分主要研究基于单位圆上随机多边形的圆周率π的随机逼近问题,内容涉及第二章至第四章.第二部分主要研究一类不可压偏微分方程解的适定性和大时间行为,包含第五章和第六章.这两部分内容虽然具有一定的独立性,值得一提的是,它们所涉及到的基础知识与研究方法均为应用数学研究中常用的分析学工具,特别地,第一部分通过对期望与方差这两个重要数字特征进行积分估计以建立相关的收敛结果时,必不可少的需要借助Markov不等式、Chebyshev不等式、Borel-Cantelli引理、Cramér定理等测度论经典工具,这与偏微分方程研究中常用的积分估计（能量方法）、Sobolev空间嵌入关系等工具来研究解的适定性及渐近行为可以说是一脉相承.论文主要结构安排如下:第一章为绪论,主要介绍与本文相关的圆周率π的随机近似、不可压MHD-Boussinesq 方程组、磁微极方程组（magneto-micropolar equations）的一些背景和国内外的研究现状,以及预备知识和本文的主要研究内容.第二章至第四章利用概率分析和现代计算数学的方法研究圆周率π的随机逼近,外推过程及相应的概率收敛问题.在一个凸集K（?）Rd中随机选取n个独立点生成的凸包Kn的随机性质自上世纪六十年代以来已被广泛地研究.当大量独立点均匀分布在一个二维平面单位圆周上时,由于随机性,相应的随机多边形直观上看起来应该非常接近于圆周,因此这些随机多边形的半周长和面积很自然地可以用来作为π的近似.不难证明,当顶点数n趋于无穷时,相应的随机n边形的半周长和面积均以概率1收敛于π.当这些点刚好等间距排列在圆周上时,早在公元前三世纪古希腊数学家阿基米德（Archimedes）就利用了对应的正多边形的半周长和面积来逼近π,并首次给出了一个可以将π的数值计算到任意精度的一般方法.古代中国数学家刘徽和祖冲之对此也做出了杰出的贡献.基于这些随机多边形,第二章研究π的随机近似并发展各种外推过程以提高收敛速度.外推技术是现代数值分析和科学计算中的常用方法.借助一些粗糙的低精度的估计,它可以大大提高计算精度和效率.而它的发现和应用最早要追溯到17世纪,由Snellius发现且稍后Huygens使用复杂的几何方法严格证明了圆内接或外切正n边形的半周长和面积的一些简单的线性组合比经典的阿基米德方法提供了更精确更高效的近似结果.本章利用外推方法,特别地同时考虑随机n边形和适当构造的随机2n边形的半周长和面积的精心设计的一些线性组合,以得到具有最佳收敛速度的外推估计.当n趋于无穷时,我们证明这些线性外推改进是渐近正态的,即满足相应的中心极限定理.我们常见的中心极限定理是针对独立同分布的随机变量,这里由于随机分割产生的弧段或割线段长度是不独立的,所以如何通过单位圆周的随机分割来严格证明相关的中心极限定理是研究的重点和难点.在第二章的基础上,第三章研究将圆周上的顶点服从均匀分布的情形推广到更一般的情形,重点考虑由对称多元Dirichlet分布所生成的随机多边形.首先我们研究对应的随机多边形的半周长或面积的渐近行为,得到类似于第二章中的收敛结果.此外,我们还建立一些具有更快收敛速度的线性外推估计.特别地,对于更一般的非对称多元Dirichlet分布或者顶点服从更广泛的其他非独立、非均匀多元分布的情形,这些问题非常具有挑战性,目前还没有系统的结果,尚有待进一步的研究和探索.第四章进一步发展π的随机逼近的非线性外推方法.我们首先构造基于均匀分布所生成的随机多边形的半周长和面积的一些特定的非线性函数,去研究它们的渐近收敛性质.通过推导这些非线性组合的概率渐近展开式并仔细地控制逼近误差,来建立有效的收敛于π的非线性外推估计.然后通过利用中心极限定理、Cramér定理、Slutsky定理等概率分析工具,我们证明这些非线性外推估计的分布也是渐近正态的.此外,我们还把这些非线性随机逼近结论推广到基于对称Dirichlet分布所生成的随机多边形的情形.论文的第二部分研究两种不可压流体模型的解的整体适定性和大时间行为.其中,第五章研究二维全空间中无热扩散效应的不可压MHD-Boussinesq方程组的Cauchy问题.首先对于适当的初始数据,我们利用能量方法建立强解的整体存在唯一性.为了得到解的大时间衰减率,我们在温度方程中添加一项人工的热阻尼项.然后应用Fourier分裂方法,推导解和解的一阶导数的最优的大时间衰减率.第六章研究二维有界域中具有零角粘性系数情形下的磁微极方程组的初边值问题.具体地,我们考虑的边界条件是Dirichlet边界条件.通过对初始数据施加适当的正则性假设但没有任何相容性条件限制,我们利用经典的能量方法证明这个方程组存在唯一的整体强解.